不用python自带的qr函数的话怎么做QR分解

QR 分解的经典算法是 Gram-Schmidt 正交化方法，这是一种基于向量空间的分解方法。具体步骤如下：

1. 对于矩阵 A 的每一列，将其视为一个向量，记为 a1, a2, ..., an。
2. 对向量 a1 进行单位化，得到向量 q1 = a1 / ||a1||，其中 ||a1|| 表示向量 a1 的模长。
3. 对向量 a2 进行单位化，并将其在向量 q1 上的投影减去，得到新向量 q2 = (a2 - proj(q1, a2)) / ||(a2 - proj(q1, a2))||，其中 proj(q1, a2) 表示向量 a2 在向量 q1 上的投影。
4. 对向量 a3 进行单位化，并将其在向量 q1 和 q2 上的投影减去，得到新向量 q3 = (a3 - proj(q1, a3) - proj(q2, a3)) / ||(a3 - proj(q1, a3) - proj(q2, a3))||。
5. 以此类推，对矩阵 A 的每一列都进行上述步骤，得到向量组 q1, q2, ..., qn。
6. 将向量组 q1, q2, ..., qn 组合成矩阵 Q，即 Q = [q1, q2, ..., qn]。
7. 将矩阵 Q 的转置和矩阵 A 相乘，得到矩阵 R，即 R = Q^T * A。

下面是 Python 代码实现：

import numpy as np

def qr_decomposition(matrix):
    m, n = matrix.shape
    Q = np.zeros((m, n))
    R = np.zeros((n, n))

    for j in range(n):
        v = matrix[:, j]
        for i in range(j):
            R[i, j] = np.dot(Q[:, i], matrix[:, j])
            v = v - R[i, j] * Q[:, i]
        R[j, j] = np.linalg.norm(v)
        Q[:, j] = v / R[j, j]

    return Q, R

其中，`matrix` 是输入的矩阵，函数返回的是 Q 矩阵和 R 矩阵。需要注意的是，这里默认输入的矩阵 A 是满秩的。如果输入的矩阵不是满秩的，可能会出现计算错误。