求和n=1 ln(2n/2n-1)
时间: 2023-09-09 15:11:24 浏览: 47
根据对数的性质有:ln(a/b) = ln(a) - ln(b)
则原式可化简为:
ln(2/1) + ln(4/3) + ln(6/5) + ... + ln(2n/2n-1)
再根据对数的另一个性质有:ln(a) + ln(b) = ln(ab)
则原式又可化简为:
ln[(2/1) * (4/3) * (6/5) * ... * (2n/2n-1)]
化简得:
ln[2^n/n]
所以原式等于ln[2^n/n]。
希望能对您有所帮助!
相关问题
c语言求和 sum = 1-1/2+1/3-1/4+...+1/99-1/100
以下是两种C语言求和的例子:
1.使用for循环
```c
#include <stdio.h>
int main() {
int n = 0;
int i = 0;
double flag = 1.0;//正负号改变的载体
double sum = 0.0;//注意结果需要浮点数
scanf("%d", &n);
for (i = 1; i <= n; i++) {
sum += flag * 1 / i;
flag = -flag;//借助循环进行正负号转化
}
printf("1-1/2+1/3...+1/99-1/100...=%lf", sum);
return 0;
}
```
2.使用while循环
```c
#include <stdio.h>
int main() {
int n = 0;
int i = 0;
double flag = 1.0;//正负号改变的载体
double sum = 0.0;//注意结果需要浮点数
scanf("%d", &n);
while(i<n) {
i++;
sum += flag * 1 / i;
flag = -flag;//借助循环进行正负号转化
}
printf("1-1/2+1/3...+1/99-1/100...=%lf", sum);
return 0;
}
```
求级数n等于1 ln【2n/(2n-1)】的值
由于级数∑ln(2n)/(2n-1)是收敛的,因此可以计算其和。
根据前面的推导可知:
ln(2n)/(2n-1) >= ln(2n+1)/(2n)
两边同时乘以2n(2n+1),得到:
2n*ln(2n) + 2n*ln(2n+1) >= (2n-1)*ln(2n)
移项合并同类项,得到:
ln(2n)/(2n) + ln(2n+1)/(2n+1) >= ln(2n)/(2n-1)
将上式从n=1到n=N进行求和,得到:
ln2 - ln3/3 + ln4/2 - ln5/5 + ln6/4 - ... - ln(2N-1)/(2N-1) + ln(2N)/2
可以发现,上式中每两项合并后的结果都是形如±ln(k),其中k是一个偶数,符号的正负与k的奇偶性相对应。
因此,上式可以写成:
ln2 + Σ(k=2,2N) (-1)^(k/2) * ln(k)/k
其中Σ表示求和,k从2到2N,(-1)^(k/2)表示(-1)的k/2次方,即当k为偶数时为1,当k为奇数时为-1。
将k=2代入上式,得到:
ln2 + ln2/2
将k=4代入上式,得到:
ln2 + ln4/4 - ln3/3
将k=6代入上式,得到:
ln2 + ln4/4 - ln3/3 + ln6/6 - ln5/5
...以此类推...
将k=2N代入上式,得到:
ln2 + ln4/4 - ln3/3 + ln6/6 - ln5/5 + ... + ln(2N)/2 - ln(2N-1)/(2N-1)
即原级数的和为:
ln2 + Σ(k=2,∞) (-1)^(k/2) * ln(k)/k
其中Σ表示求和,k从2到∞,(-1)^(k/2)表示(-1)的k/2次方,即当k为偶数时为1,当k为奇数时为-1。
这个级数的和是一个常数,约为0.6931471805599453。