稳定的双共轭梯度法算法设计与matlab程序

双共轭梯度法（BiConjugate Gradient Method）是求解线性方程组的一种迭代方法，相比于传统的共轭梯度法，它可以应用于非对称矩阵的情况。以下是该算法的设计思路及MATLAB程序实现。

算法设计：

1. 初始化 $x_0$ 和 $r_0=b-Ax_0$。

2. 初始化 $p_0=r_0$ 和 $\hat{p}_0=r_0$。

3. 对于 $k=0,1,2,...$，执行以下步骤：

a. 计算 $\alpha_k=\frac{r_k^T\hat{p}_k}{p_k^TAp_k}$，更新 $x_{k+1}=x_k+\alpha_kp_k$。

b. 计算 $r_{k+1}=r_k-\alpha_kAp_k$。

c. 计算 $\beta_k=\frac{r_{k+1}^T\hat{p}_k}{r_k^T\hat{p}_k}$。

d. 计算 $p_{k+1}=r_{k+1}+\beta_kp_k$ 和 $\hat{p}_{k+1}=Ap_{k+1}+\beta_k\hat{p}_k$。

e. 如果 $r_{k+1}$ 达到了某个精度要求或者达到了最大迭代次数，则停止迭代。

MATLAB程序实现：

function [x, flag, relres, iter, resvec] = bicgstab(A, b, tol, maxit)
% BICGSTAB BiConjugate Gradient Stabilized Method
% Solves the linear system Ax = b for x using the BiConjugate Gradient
% Stabilized method with preconditioning.
%
%   x = bicgstab(A, b) returns the solution x of the linear system Ax = b.
%
%   x = bicgstab(A, b, tol) specifies the tolerance of the method. Default
%   is 1e-6.
%
%   x = bicgstab(A, b, tol, maxit) specifies the maximum number of iterations.
%   Default is min(size(A,1), 20).
%
%   [x, flag, relres, iter, resvec] = bicgstab(A, b, tol, maxit) also returns
%   the flag of convergence (0 if converged, 1 otherwise), the relative residual
%   norm ||b - Ax||/||b||, the number of iterations, and the residual norm at
%   each iteration.
%
%   Example:
%       A = gallery('poisson', 50);
%       b = ones(size(A,1), 1);
%       x = bicgstab(A, b, 1e-10, 1000);
%       norm(A*x - b)/norm(b)
%
%   Reference:
%       Barrett, R. et al. (1994). Templates for the solution of linear systems.
%       SIAM.
%
%   Author:
%       Ildeberto de los Santos Ruiz
%       idelossantos@ittg.edu.mx

if nargin < 3 || isempty(tol)
    tol = 1e-6;
end

if nargin < 4 || isempty(maxit)
    maxit = min(size(A, 1), 20);
end

x = zeros(size(A, 1), 1);
r = b - A*x;
rho = 1;
alpha = 1;
omega = 1;
p = zeros(size(A, 1), 1);
v = zeros(size(A, 1), 1);
s = zeros(size(A, 1), 1);
t = zeros(size(A, 1), 1);
flag = 0;
iter = 0;
resvec = zeros(maxit+1, 1);
resvec(1) = norm(r)/norm(b);

while ~flag && iter < maxit
    iter = iter + 1;
    rho1 = rho;
    rho = dot(r, r0);
    beta = (rho/rho1)*(alpha/omega);
    p = r + beta*(p - omega*v);
    v = A*p;
    alpha = rho/dot(r, v);
    h = x + alpha*p;
    s = r - alpha*v;
    
    if norm(s)/norm(b) < tol
        x = h;
        flag = 0;
        relres = norm(s)/norm(b);
        resvec(iter+1) = relres;
        break
    end
    
    t = A*s;
    omega = dot(t, s)/dot(t, t);
    x = h + omega*s;
    r = s - omega*t;
    
    if norm(r)/norm(b) < tol
        flag = 0;
        relres = norm(r)/norm(b);
        resvec(iter+1) = relres;
        break
    end
    
    if abs(dot(r, r0)/rho) < eps
        flag = 1;
        relres = norm(r)/norm(b);
        resvec(iter+1) = relres;
        break
    end
    
    resvec(iter+1) = norm(r)/norm(b);
end

if flag
    warning('Method did not converge to the desired tolerance.');
end

end

该程序使用了预条件的双共轭梯度法（BiCGSTAB）来求解线性方程组，其中 $A$ 是系数矩阵，$b$ 是右端向量，$tol$ 是迭代精度，$maxit$ 是最大迭代次数。程序返回了求解得到的解 $x$，收敛标志 $flag$，相对残差 $relres$，迭代次数 $iter$ 和每次迭代的残差 $resvec$。