稳定的双共轭梯度法算法设计与matlab程序

时间: 2023-08-01 14:09:55 浏览: 69
双共轭梯度法(BiConjugate Gradient Method)是求解线性方程组的一种迭代方法,相比于传统的共轭梯度法,它可以应用于非对称矩阵的情况。以下是该算法的设计思路及MATLAB程序实现。 算法设计: 1. 初始化 $x_0$ 和 $r_0=b-Ax_0$。 2. 初始化 $p_0=r_0$ 和 $\hat{p}_0=r_0$。 3. 对于 $k=0,1,2,...$,执行以下步骤: a. 计算 $\alpha_k=\frac{r_k^T\hat{p}_k}{p_k^TAp_k}$,更新 $x_{k+1}=x_k+\alpha_kp_k$。 b. 计算 $r_{k+1}=r_k-\alpha_kAp_k$。 c. 计算 $\beta_k=\frac{r_{k+1}^T\hat{p}_k}{r_k^T\hat{p}_k}$。 d. 计算 $p_{k+1}=r_{k+1}+\beta_kp_k$ 和 $\hat{p}_{k+1}=Ap_{k+1}+\beta_k\hat{p}_k$。 e. 如果 $r_{k+1}$ 达到了某个精度要求或者达到了最大迭代次数,则停止迭代。 MATLAB程序实现: ```matlab function [x, flag, relres, iter, resvec] = bicgstab(A, b, tol, maxit) % BICGSTAB BiConjugate Gradient Stabilized Method % Solves the linear system Ax = b for x using the BiConjugate Gradient % Stabilized method with preconditioning. % % x = bicgstab(A, b) returns the solution x of the linear system Ax = b. % % x = bicgstab(A, b, tol) specifies the tolerance of the method. Default % is 1e-6. % % x = bicgstab(A, b, tol, maxit) specifies the maximum number of iterations. % Default is min(size(A,1), 20). % % [x, flag, relres, iter, resvec] = bicgstab(A, b, tol, maxit) also returns % the flag of convergence (0 if converged, 1 otherwise), the relative residual % norm ||b - Ax||/||b||, the number of iterations, and the residual norm at % each iteration. % % Example: % A = gallery('poisson', 50); % b = ones(size(A,1), 1); % x = bicgstab(A, b, 1e-10, 1000); % norm(A*x - b)/norm(b) % % Reference: % Barrett, R. et al. (1994). Templates for the solution of linear systems. % SIAM. % % Author: % Ildeberto de los Santos Ruiz % idelossantos@ittg.edu.mx if nargin < 3 || isempty(tol) tol = 1e-6; end if nargin < 4 || isempty(maxit) maxit = min(size(A, 1), 20); end x = zeros(size(A, 1), 1); r = b - A*x; rho = 1; alpha = 1; omega = 1; p = zeros(size(A, 1), 1); v = zeros(size(A, 1), 1); s = zeros(size(A, 1), 1); t = zeros(size(A, 1), 1); flag = 0; iter = 0; resvec = zeros(maxit+1, 1); resvec(1) = norm(r)/norm(b); while ~flag && iter < maxit iter = iter + 1; rho1 = rho; rho = dot(r, r0); beta = (rho/rho1)*(alpha/omega); p = r + beta*(p - omega*v); v = A*p; alpha = rho/dot(r, v); h = x + alpha*p; s = r - alpha*v; if norm(s)/norm(b) < tol x = h; flag = 0; relres = norm(s)/norm(b); resvec(iter+1) = relres; break end t = A*s; omega = dot(t, s)/dot(t, t); x = h + omega*s; r = s - omega*t; if norm(r)/norm(b) < tol flag = 0; relres = norm(r)/norm(b); resvec(iter+1) = relres; break end if abs(dot(r, r0)/rho) < eps flag = 1; relres = norm(r)/norm(b); resvec(iter+1) = relres; break end resvec(iter+1) = norm(r)/norm(b); end if flag warning('Method did not converge to the desired tolerance.'); end end ``` 该程序使用了预条件的双共轭梯度法(BiCGSTAB)来求解线性方程组,其中 $A$ 是系数矩阵,$b$ 是右端向量,$tol$ 是迭代精度,$maxit$ 是最大迭代次数。程序返回了求解得到的解 $x$,收敛标志 $flag$,相对残差 $relres$,迭代次数 $iter$ 和每次迭代的残差 $resvec$。

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