matlab贝塞尔曲线艾里斑

### 使用 MATLAB 绘制贝塞尔曲线

贝塞尔曲线是一种广泛应用于计算机图形学中的参数化曲线。通过给定控制点，可以构建不同阶次的贝塞尔曲线。

对于一阶贝塞尔曲线，在两个端点之间形成一条直线段[^2]：

function bezier_line(p0, p1)
    t = linspace(0, 1, 100);
    B = (1-t)*p0 + t*p1;
    plot(B(:,1),B(:,2));
end

更高阶的贝塞尔曲线可以通过递归方式定义并绘制出来。例如三阶贝塞尔曲线涉及四个控制点[p0,p1,p2,p3]，其MATLAB实现如下所示[^3]：

function bezier_curve_3rd_order(p0, p1, p2, p3)
    t = linspace(0, 1, 100)';
    P = [(1-t).^3, 3*(1-t).^2.*t, 3*(1-t).*t.^2, t.^3]*[p0; p1; p2; p3];
    plot(P(:,1),P(:,2),'LineWidth',2); hold on;
    scatter([p0(1) p1(1) p2(1) p3(1)], [p0(2) p1(2) p2(2) p3(2)]);
end

### 计算与绘制艾里斑

艾里斑描述了理想光学系统的衍射效应所形成的中心亮区形状。在MATLAB中模拟这一现象通常涉及到傅立叶变换的应用以及光强分布公式的应用。

下面是一个简单的例子来展示如何创建一个圆形孔径并通过快速傅立叶变换（FFT）得到相应的远场衍射图案即艾里斑图像[^4]:

% 定义空间频率范围和采样间隔
dx = dy = 0.5e-6; % 单位:meters
Lx = Ly = 1e-3;   % 单位:meters
N = round(Lx/dx);

[x,y]=meshgrid(-Lx/2:Lx/(N-1):Lx/2,-Ly/2:Ly/(N-1):Ly/2);

r=sqrt(x.^2+y.^2)/(1e-6*2); % 圆形孔径半径设为2微米
aperture=double(r<=1);

lambda=633e-9; f=0.1;        % 波长 lambda 和焦距f
k=(2*pi)/lambda;

U=fourier(aperture,[],[],'symmetric'); % 进行二维离散傅里叶变换
I=abs(U).^2/max(abs(U(:)).^2);         % 归一化的强度分布

figure(); imagesc(I); axis equal tight; colormap gray;
title('Airy Pattern');
xlabel('\xi_x (\mu m^{-1})'); ylabel('\xi_y (\mu m^{-1})');
colorbar();