wishart分布可加性证明
时间: 2023-08-04 19:09:37 浏览: 87
Wishart分布的可加性可以通过证明矩阵的对数行列式的可加性来得到。具体地,假设$W_1$和$W_2$是两个$p \times p$的Wishart分布的矩阵,自由度分别为$n_1$和$n_2$,尺度矩阵分别为$V_1$和$V_2$。则矩阵的对数行列式的和为:
$$
\begin{aligned}
\log|W_1 + W_2| &= \log|W_1(I + W_1^{-1}W_2)| \\
&= \log|W_1| + \log|I + W_1^{-1}W_2| \\
&= (n_1-p-1)\log|V_1| - \sum_{i=1}^p\log\Gamma\left(\frac{n_1+1-i}{2}\right) \\
&\quad +\log|I + W_1^{-1}W_2| \\
&\quad + (n_2-p-1)\log|V_2| - \sum_{i=1}^p\log\Gamma\left(\frac{n_2+1-i}{2}\right) \\
&= \log|W_1| + \log|I + W_1^{-1/2}(W_1^{-1/2}W_2W_1^{-1/2})W_1^{-1/2}| \\
&\quad + \log|W_2| \\
&\quad - \log|I + W_1^{-1/2}(W_1^{-1/2}W_2W_1^{-1/2})W_1^{-1/2} + W_2^{-1/2}(W_1^{-1/2}W_2W_1^{-1/2})W_2^{-1/2}| \\
&\quad -\sum_{i=1}^p\log\Gamma\left(\frac{n_1+1-i}{2}\right) - \sum_{i=1}^p\log\Gamma\left(\frac{n_2+1-i}{2}\right)
\end{aligned}
$$
其中,我们使用了矩阵的Woodbury矩阵恒等式$(A+UCV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(C^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}$,并将$W_1$分解为$W_1=Z_1Z_1^T$,其中$Z_1$是$p \times n_1$的矩阵,满足$Z_1^TZ_1=V_1$。同理,将$W_2$分解为$W_2=Z_2Z_2^T$,其中$Z_2$是$p \times n_2$的矩阵,满足$Z_2^TZ_2=V_2$。
进一步地,我们可以使用矩阵的特征值分解将上式中的$\log|I + W_1^{-1/2}(W_1^{-1/2}W_2W_1^{-1/2})W_1^{-1/2}|$表示为:
$$
\begin{aligned}
\log|I + W_1^{-1/2}(W_1^{-1/2}W_2W_1^{-1/2})W_1^{-1/2}| &= \sum_{i=1}^p\log(1+\lambda_i) \\
&= \sum_{i=1}^p\log\left(\frac{\lambda_i}{1+\lambda_i}\right) + \sum_{i=1}^p\log(1+\lambda_i) \\
&= \log|W_1^{-1}W_2| + \sum_{i=1}^p\log(1+\lambda_i)
\end{aligned}
$$
其中,$\lambda_i$是矩阵$W_1^{-1/2}(W_1^{-1/2}W_2W_1^{-1/2})W_1^{-1/2}$的第$i$个特征值。
综上所述,我们可以将$\log|W_1+W_2|$表示为:
$$
\begin{aligned}
\log|W_1 + W_2| &= \log|W_1| + \log|W_2| + \log|I + W_1^{-1}W_2| \\
&\quad + \sum_{i=1}^p\log(1+\lambda_i) \\
&\quad -\log|I + W_1^{-1/2}(W_1^{-1/2}W_2W_1^{-1/2})W_1^{-1/2} + W_2^{-1/2}(W_1^{-1/2}W_2W_1^{-1/2})W_2^{-1/2}| \\
&\quad -\sum_{i=1}^p\log\Gamma\left(\frac{n_1+1-i}{2}\right) - \sum_{i=1}^p\log\Gamma\left(\frac{n_2+1-i}{2}\right)
\end{aligned}
$$
因此,我们证明了Wishart分布的可加性。
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