c++如果有一个正整数N，能被2520整除，则N就是完美数。 现有一个非常大的正整数M，最高位为1，其余均为0，请计算在[1,M][1,M]范围内有多少个完美数。

题目要求在 $[1,M]$ 范围内有多少个能被 $2520$ 整除的正整数，可以转化为求在 $[1,\lfloor\frac{M}{2520}\rfloor]$ 范围内有多少个正整数。

因为 $2520=2^3\times3^2\times5\times7$，所以一个正整数能被 $2520$ 整除，当且仅当它的因数中包含 $2^3$、$3^2$、$5$ 和 $7$。因为 $M$ 最高位为 $1$，所以 $M$ 最多只能包含 $2^{30}$，$3^{19}$，$5^{13}$ 和 $7^{11}$ 这些因数，超过这些因数的数一定大于 $M$。因此，我们可以枚举每个因数的指数，计算能够得到的因数的积是否小于等于 $M$，如果小于等于 $M$ 则计入答案。

具体来说，我们可以用一个变量 $ans$ 记录答案，然后枚举 $2$ 的指数 $i$，$3$ 的指数 $j$，$5$ 的指数 $k$，$7$ 的指数 $l$，在计算积 $2^i \times 3^j \times 5^k \times 7^l$ 时，如果积小于等于 $M$，则将 $\lfloor\frac{M}{2^i \times 3^j \times 5^k \times 7^l}\rfloor$ 加入答案。

最终答案即为 $ans$。

代码如下：

相关问题

c++ 如果有一个正整数N，能被2520整除，则N就是完美数。 现有一个非常大的正整数M，最高位为1，其余均为0，请计算在[1,M]范围内有多少个完美数。

这道题可以使用容斥原理来求解。

首先，我们知道2520是一个包含了所有小于等于10的数字的最小公倍数。因此，如果一个数能够被2520整除，那么它一定能够被1至10之间的所有数字整除。

现在我们要求[1,M]范围内的完美数个数，我们可以考虑分别计算能被1至10中的1个数字整除的数的个数、能被2个数字整除的数的个数、能被3个数字整除的数的个数，以此类推。

设f(x)为1到x中能够被1至10中x个数字整除的数的个数，则答案为：

f(1) - f(2) + f(3) - f(4) + ... + (-1)^(k+1) * f(k) + ...

其中k表示最多能被10个数字整除的数的个数，当k大于10时，f(k)为0。

现在我们只需要求出f(x)即可。考虑使用递推的方法求解。

设g(x)为1到x中能够被1至10中x个数字整除的数的个数，并且最大的因子为y。则有：

g(x, y) = g(x-1, y) + g(x/y, y-1)

其中g(x-1, y)表示1至x-1中能够被1至10中x-1个数字整除的数的个数，并且最大的因子为y；g(x/y, y-1)表示1至x/y中能够被1至10中x个数字整除的数的个数，并且最大的因子为y-1。

边界条件为g(1, y) = 1，g(x, 1) = [x能够被1至10中x个数字整除]。

最终的代码如下：

如果有一个正整数N，能被2520整除，则N就是完美数。 现有一个非常大的正整数M，最高位为1，其余均为0，请计算在[1,M]范围内有多少个完美数.C++

这道题可以通过枚举1到M中所有的数，判断是否能被2520整除来解决。但是由于数据范围非常大，直接枚举会超时，因此需要优化。

我们可以先将1到M中的所有数按照2520为一组分组，每组中有2520个数。然后对于每一组，我们判断2520是否能整除这一组中的所有数。如果能整除，则这一组中的所有数都是完美数，可以直接计入答案。

对于最后一组，由于不一定有2520个数，我们需要单独处理。可以直接枚举这一组中的所有数，判断是否能被2520整除。

下面是C++代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;

const int groupSize = 2520; // 每组的大小
int groupCount; // 分组的数量

// 判断n是否为完美数
bool isPerfect(int n) {
    return n % 2520 == 0;
}

// 统计1~n中的完美数个数
int countPerfect(int n) {
    groupCount = (n + groupSize - 1) / groupSize; // 计算分组的数量
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i < groupCount; i++) {
        if (isPerfect(i * groupSize)) {
            ans += groupSize;
        }
    }
    // 处理最后一组
    int lastGroupStart = (groupCount - 1) * groupSize + 1;
    for (int i = lastGroupStart; i <= n; i++) {
        if (isPerfect(i)) {
            ans++;
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    int m = 1000000000; // 最大值
    cout << countPerfect(m) << endl; // 输出完美数的个数
    return 0;
}