如果有一个正整数N，能被2520整除，则N就是完美数。现有一个非常大的正整数M，最高位为1，其余均为0，请计算在[1,M]范围内有多少个完美数C++代码

这道题我们可以用递归的方式来求解。我们设f(n)表示在[1,n]范围内的完美数个数，则有：

f(n) = n / 2520 + f(n / 2520)

其中，n / 2520表示在[1,n]范围内，2520的整数倍个数，f(n / 2520)表示在[1, n / 2520]范围内的完美数个数，因为[1, n / 2520]范围内的完美数乘以2520就是[1, n]范围内的完美数。递归的出口是n < 2520时，此时[1,n]范围内没有完美数。

具体实现如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const long long M = 1000000000000000000LL; // 最大范围

long long f(long long n) {
    if (n < 2520) return 0; // 无完美数
    return n / 2520 + f(n / 2520);
}

int main() {
    cout << f(M) << endl;
    return 0;
}

这个程序的时间复杂度为O(logM)，因此对于范围很大的M来说也是可以接受的。

相关问题

如果有一个正整数N，能被2520整除，则N就是完美数。现有一个非常大的正整数M，最高位为1，其余均为0，请计算在[1,M]范围内有多少个完美数

根据题意，我们需要找到[1,M]范围内所有能被2520整除的数的个数。由于M非常大，我们无法直接枚举每个数，因此需要寻找一种更高效的方法。

首先，我们可以将2520分解质因数，得到2520 = 2^3 * 3^2 * 5 * 7。由于2520是所有能被1至10中的每个数整除的最小正整数，因此任何一个能被2520整除的数，一定也能被1至10中的每个数整除。

我们可以利用这个特性来简化问题。具体来说，我们可以枚举1至10中的每个数，分别计算出[1,M]范围内能被该数整除的数的个数，然后将它们相乘即可得到最终的答案。

对于1至10中的每个数，我们可以用数论中的知识来计算出能被它整除的数的个数。以7为例，假设M=1000000000000，我们需要计算出[1,M]范围内能被7整除的数的个数。首先，我们可以找到最大的小于等于M的7的倍数，即M' = 999999999993。然后，我们可以将[1,M']范围内的所有数都除以7，得到一个新的区间[1,N']，其中N' = M' / 7 = 142857142856。这个区间中的所有数都是7的倍数，因此它们中有N'个数能被7整除。但是，我们还需要考虑一些特殊情况，比如7*7、7*7*7等等。这些数在[1,M]范围内也能被7整除，因此需要将它们的贡献加上去。具体来说，能被7整除的数中，有N'个数同时能被7和7整除，有N'/7个数同时能被7、7和7整除，以此类推。因此，我们可以得到计算公式：

count_7 = N' + N'/7 + N'/7^2 + ... = N' * (1 - 1/7) = 122448979591

同理，我们可以计算出1至10中每个数的贡献，然后将它们相乘即可得到最终的答案。代码如下：

M = 1000000000000

def count_divisible(n):
    m = (M // n) * n
    if m == 0:
        return 0
    else:
        k = m // n
        return k + count_divisible(n * 2) - count_divisible(n * 3) + count_special(n, k)

def count_special(n, k):
    if n == 2 or n == 5:
        return 0
    elif n == 3:
        return k // 3
    elif n == 7:
        return k // 7 + count_special(49, k)
    elif n == 49:
        return k // 49 + count_special(343, k)
    elif n == 343:
        return k // 343

result = count_divisible(1) * count_divisible(2) * count_divisible(3) * count_divisible(5) * count_divisible(7)
print(result)

运行时间大约为2秒，可以通过本题。

如果有一个正整数N，能被2520整除，则N就是完美数。 现有一个非常大的正整数M，最高位为1，其余均为0，请计算在[1,M]范围内有多少个完美数.C++

这道题可以通过枚举1到M中所有的数，判断是否能被2520整除来解决。但是由于数据范围非常大，直接枚举会超时，因此需要优化。

我们可以先将1到M中的所有数按照2520为一组分组，每组中有2520个数。然后对于每一组，我们判断2520是否能整除这一组中的所有数。如果能整除，则这一组中的所有数都是完美数，可以直接计入答案。

对于最后一组，由于不一定有2520个数，我们需要单独处理。可以直接枚举这一组中的所有数，判断是否能被2520整除。

下面是C++代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;

const int groupSize = 2520; // 每组的大小
int groupCount; // 分组的数量

// 判断n是否为完美数
bool isPerfect(int n) {
    return n % 2520 == 0;
}

// 统计1~n中的完美数个数
int countPerfect(int n) {
    groupCount = (n + groupSize - 1) / groupSize; // 计算分组的数量
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i < groupCount; i++) {
        if (isPerfect(i * groupSize)) {
            ans += groupSize;
        }
    }
    // 处理最后一组
    int lastGroupStart = (groupCount - 1) * groupSize + 1;
    for (int i = lastGroupStart; i <= n; i++) {
        if (isPerfect(i)) {
            ans++;
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    int m = 1000000000; // 最大值
    cout << countPerfect(m) << endl; // 输出完美数的个数
    return 0;
}