c++ 如果有一个正整数N，能被2520整除，则N就是完美数。 现有一个非常大的正整数M，最高位为1，其余均为0，请计算在[1,M]范围内有多少个完美数。

这道题可以使用容斥原理来求解。

首先，我们知道2520是一个包含了所有小于等于10的数字的最小公倍数。因此，如果一个数能够被2520整除，那么它一定能够被1至10之间的所有数字整除。

现在我们要求[1,M]范围内的完美数个数，我们可以考虑分别计算能被1至10中的1个数字整除的数的个数、能被2个数字整除的数的个数、能被3个数字整除的数的个数，以此类推。

设f(x)为1到x中能够被1至10中x个数字整除的数的个数，则答案为：

f(1) - f(2) + f(3) - f(4) + ... + (-1)^(k+1) * f(k) + ...

其中k表示最多能被10个数字整除的数的个数，当k大于10时，f(k)为0。

现在我们只需要求出f(x)即可。考虑使用递推的方法求解。

设g(x)为1到x中能够被1至10中x个数字整除的数的个数，并且最大的因子为y。则有：

g(x, y) = g(x-1, y) + g(x/y, y-1)

其中g(x-1, y)表示1至x-1中能够被1至10中x-1个数字整除的数的个数，并且最大的因子为y；g(x/y, y-1)表示1至x/y中能够被1至10中x个数字整除的数的个数，并且最大的因子为y-1。

边界条件为g(1, y) = 1，g(x, 1) = [x能够被1至10中x个数字整除]。

最终的代码如下：

相关问题

c++如果有一个正整数N，能被2520整除，则N就是完美数。 现有一个非常大的正整数M，最高位为1，其余均为0，请计算在[1,M][1,M]范围内有多少个完美数。 输入 输入一个正整数M 输出 完美数的个数

这道题可以使用容斥原理来解决。

首先，我们计算出在[1,M]中能被2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97中的任意一个整除的数的个数，设为cnt1；

然后，我们计算出在[1,M]中能被(2*3)、(2*5)、(2*7)、...、(97*89)、(97*97)中的任意一个整除的数的个数，设为cnt2；

接着，我们计算出在[1,M]中能被(2*3*5)、(2*3*7)、(2*3*11)、...、(97*89*83)、(97*89*97)中的任意一个整除的数的个数，设为cnt3；

以此类推，我们可以计算出能被(2*3*5*7*11*...*97)中的任意一个整除的数的个数，设为cntk。

最后，我们将所有的cnt1、cnt2、cnt3、...、cntk相加，就可以得到在[1,M]中能被2520整除的数的个数。

如果有一个正整数N，能被2520整除，则N就是完美数。现有一个非常大的正整数M，最高位为1，其余均为0，请计算在[1,M]范围内有多少个完美数C++代码

这道题可以用数学方法解决。我们知道，2520可以被1~10的所有整数整除，因此，如果一个数N能被2520整除，那么它一定能被1~10的所有整数整除。所以，我们可以从1~10中选取若干个数，计算它们的最小公倍数，得到一个完美数。因此，我们只需要计算1~10的最小公倍数，然后枚举该最小公倍数的倍数即可。具体实现如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const long long M = 1000000000000000000LL; // 最大范围

long long gcd(long long a, long long b) { // 最大公约数
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

long long lcm(long long a, long long b) { // 最小公倍数
    return a * b / gcd(a, b);
}

int main() {
    long long ans = 0, L = 1;
    for (int i = 1; i <= 10; ++i) { // 计算最小公倍数
        L = lcm(L, i);
    }
    while (L <= M) { // 枚举完美数
        ++ans;
        L += L;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

这个程序的时间复杂度为O(logM)，因此对于范围很大的M来说也是可以接受的。