c++ 如果有一个正整数N,能被2520整除,则N就是完美数。 现有一个非常大的正整数M,最高位为1,其余均为0,请计算在[1,M]范围内有多少个完美数。
时间: 2023-12-28 18:03:55 浏览: 36
这道题可以使用容斥原理来求解。
首先,我们知道2520是一个包含了所有小于等于10的数字的最小公倍数。因此,如果一个数能够被2520整除,那么它一定能够被1至10之间的所有数字整除。
现在我们要求[1,M]范围内的完美数个数,我们可以考虑分别计算能被1至10中的1个数字整除的数的个数、能被2个数字整除的数的个数、能被3个数字整除的数的个数,以此类推。
设f(x)为1到x中能够被1至10中x个数字整除的数的个数,则答案为:
```
f(1) - f(2) + f(3) - f(4) + ... + (-1)^(k+1) * f(k) + ...
```
其中k表示最多能被10个数字整除的数的个数,当k大于10时,f(k)为0。
现在我们只需要求出f(x)即可。考虑使用递推的方法求解。
设g(x)为1到x中能够被1至10中x个数字整除的数的个数,并且最大的因子为y。则有:
```
g(x, y) = g(x-1, y) + g(x/y, y-1)
```
其中g(x-1, y)表示1至x-1中能够被1至10中x-1个数字整除的数的个数,并且最大的因子为y;g(x/y, y-1)表示1至x/y中能够被1至10中x个数字整除的数的个数,并且最大的因子为y-1。
边界条件为g(1, y) = 1,g(x, 1) = [x能够被1至10中x个数字整除]。
最终的代码如下:
相关问题
如果有一个正整数N,能被2520整除,则N就是完美数。 现有一个非常大的正整数M,最高位为1,其余均为0,请计算在[1,M]范围内有多少个完美数.C++
这道题可以通过枚举1到M中所有的数,判断是否能被2520整除来解决。但是由于数据范围非常大,直接枚举会超时,因此需要优化。
我们可以先将1到M中的所有数按照2520为一组分组,每组中有2520个数。然后对于每一组,我们判断2520是否能整除这一组中的所有数。如果能整除,则这一组中的所有数都是完美数,可以直接计入答案。
对于最后一组,由于不一定有2520个数,我们需要单独处理。可以直接枚举这一组中的所有数,判断是否能被2520整除。
下面是C++代码实现:
```c++
#include <iostream>
using namespace std;
const int groupSize = 2520; // 每组的大小
int groupCount; // 分组的数量
// 判断n是否为完美数
bool isPerfect(int n) {
return n % 2520 == 0;
}
// 统计1~n中的完美数个数
int countPerfect(int n) {
groupCount = (n + groupSize - 1) / groupSize; // 计算分组的数量
int ans = 0;
for (int i = 1; i < groupCount; i++) {
if (isPerfect(i * groupSize)) {
ans += groupSize;
}
}
// 处理最后一组
int lastGroupStart = (groupCount - 1) * groupSize + 1;
for (int i = lastGroupStart; i <= n; i++) {
if (isPerfect(i)) {
ans++;
}
}
return ans;
}
int main() {
int m = 1000000000; // 最大值
cout << countPerfect(m) << endl; // 输出完美数的个数
return 0;
}
```
如果有一个正整数N,能被2520整除,则N就是完美数。现有一个非常大的正整数M,最高位为1,其余均为0,请计算在[1,M]范围内有多少个完美数C++代码
这道题我们可以用递归的方式来求解。我们设f(n)表示在[1,n]范围内的完美数个数,则有:
f(n) = n / 2520 + f(n / 2520)
其中,n / 2520表示在[1,n]范围内,2520的整数倍个数,f(n / 2520)表示在[1, n / 2520]范围内的完美数个数,因为[1, n / 2520]范围内的完美数乘以2520就是[1, n]范围内的完美数。递归的出口是n < 2520时,此时[1,n]范围内没有完美数。
具体实现如下:
```cpp
#include <iostream>
using namespace std;
const long long M = 1000000000000000000LL; // 最大范围
long long f(long long n) {
if (n < 2520) return 0; // 无完美数
return n / 2520 + f(n / 2520);
}
int main() {
cout << f(M) << endl;
return 0;
}
```
这个程序的时间复杂度为O(logM),因此对于范围很大的M来说也是可以接受的。
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