分段线性插值计算runge函数使用matlab

在MATLAB中，我们可以使用分段线性插值（Piecewise Linear Interpolation）来计算Runge函数的值。Runge函数是一种常见的测试函数，因为它展示了数值积分的困难。假设我们有Runge函数定义为`f(x) = 1/(1+x^2)`，下面是如何使用分段线性插值的步骤：

1. **定义Runge函数和区间**:

f = @(x) 1 ./ (1 + x.^2); % 定义Runge函数
a = -5; % 下限
b = 5; % 上限
n = 10; % 插值点的数量（这里取10个等差点）

2. **生成等距插值点**:

x_nodes = linspace(a, b, n+1); % 创建等距的插值点，包括端点

3. **计算函数值**:

y_nodes = f(x_nodes);

4. **应用分段线性插值**:

x_eval = linspace(a, b, 100); % 测试点用于评估插值效果
y_interpolated = interp1(x_nodes, y_nodes, x_eval, 'pchip'); % 使用'pchip'方法（ Piecewise Cubic Hermite Interpolation），这是线性插值的一种改进

5. **绘制比较图**:

plot(x_eval, f(x_eval), 'o', x_eval, y_interpolated, '-')
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Runge Function with Piecewise Linear Interpolation')
legend('True Function', 'Interpolated Function')

请注意，由于Runge函数的特性，如果直接使用等距离的插值点可能会导致严重的插值误差。你可以尝试增加插值点的数量来减小这种现象。