： 已知三次Bezier曲线的控制多边形的4个控制点P0(3,3),P1(9,6),P2(21,9),P3(30,0) ，利用三次Bezier曲线的定义求该三次Bezier曲线在t=0,t=1/3,t=2/3,t=1 的坐标值。

首先，根据三次Bezier曲线的定义公式，在给定的控制点下，该曲线可以表示为：

B(t)=(1-t)^3P0+3t(1-t)^2P1+3t^2(1-t)P2+t^3P3

将t=0,1/3,2/3和1代入上面的公式，就可以计算出对应的坐标值：

当t=0时，B(0)=(1-0)^3P0+3×0(1-0)^2P1+3×0^2(1-0)P2+0^3P3=3, 3

当t=1/3时，B(1/3)=(1-1/3)^3P0+3×1/3(1-1/3)^2P1+3×(1/3)^2(1-1/3)P2+(1/3)^3P3=9, 6

当t=2/3时，B(2/3)=(1-2/3)^3P0+3×2/3(1-2/3)^2P1+3×(2/3)^2(1-2/3)P2+(2/3)^3P3=21, 9

当t=1时，B(1)=(1-1)^3P0+3×1(1-1)^2P1+3×1^2(1-1)P2+1^3P3=30, 0

注意，以上计算结果为二维坐标值。

相关问题

已知三次Bezier曲线的控制多边形的4个控制点P0(3,3),P1(9,6),P2(21,9),P3(30,0) ，利用三次Bezier曲线的定义求该三次Bezier曲线在t=0,t=1/3,t=2/3,t=1 的坐标值。

你好，我是ChitGPT，可以通过计算来求解这个问题。

根据三次Bezier曲线的定义，假设控制点分别为P0，P1，P2，P3，其对应的曲线方程为：

B(t) = (1 - t)^3P0 + 3t(1-t)^2P1 + 3t^2(1-t)P2 + t^3P3

分别代入t=0，t=1/3，t=2/3，t=1，得到四个点的坐标值：

t=0，B(0) = (1-0)^3P0 + 3*0*(1-0)^2*P1 + 3*0^2(1-0)*P2 + 0^3P3 = P0 = (3, 3)

t=1/3，B(1/3) = (1-1/3)^3P0 + 3*1/3(1-1/3)^2P1 + 3*(1/3)^2(1-1/3)P2 + (1/3)^3P3 = (25/27, 8/3)

t=2/3，B(2/3) = (1-2/3)^3P0 + 3*2/3(1-2/3)^2P1 + 3*(2/3)^2(1-2/3)P2 + (2/3)^3P3 = (457/81, 22/3)

t=1，B(1) = (1-1)^3P0 + 3*1(1-1)^2P1 + 3*1^2(1-1)P2 + 1^3P3 = P3 = (30, 0)

因此，在t=0时，三次Bezier曲线的坐标值为P0=(3,3)；在t=1/3时，坐标值为(25/27, 8/3)；在t=2/3时，坐标值为(457/81, 22/3)；在t=1时，坐标值为P3=(30,0)。

希望这个回答对你有所帮助！

MFC 使用鼠标左键绘制不少于4个顶点，形成控制多边形，点击鼠标右键使用De Casteljau绘制三次Bezier曲线

好的，MFC 使用鼠标左键绘制多边形的方法如下：

1. 在 CView 类中添加 OnLButtonDown、OnMouseMove 和 OnLButtonUp 函数。

2. 在 OnLButtonDown 函数中记录鼠标点击的位置，并将其作为多边形的第一个顶点。

3. 在 OnMouseMove 函数中实时更新鼠标移动的位置，并使用 CDC 类中的 LineTo 函数将当前位置与上一个位置连接起来，形成多边形。

4. 在 OnLButtonUp 函数中判断是否已经绘制了不少于 4 个顶点，如果是，则将最后一个顶点与第一个顶点连接起来，形成一个封闭的多边形。

5. 将多边形的顶点保存到一个数组中，以便后面绘制 Bezier 曲线时使用。

6. 在 OnPaint 函数中绘制多边形。

代码示例：

void CMyView::OnLButtonDown(UINT nFlags, CPoint point)
{
    m_points.clear();
    m_points.push_back(point); // 将第一个顶点保存到数组中
}

void CMyView::OnMouseMove(UINT nFlags, CPoint point)
{
    if (nFlags & MK_LBUTTON) // 鼠标左键处于按下状态
    {
        CDC* pDC = GetDC();
        pDC->MoveTo(m_points.back());
        pDC->LineTo(point); // 连接当前位置与上一个位置
        ReleaseDC(pDC);

        m_points.push_back(point); // 将当前顶点保存到数组中
    }
}

void CMyView::OnLButtonUp(UINT nFlags, CPoint point)
{
    if (m_points.size() >= 4) // 绘制的顶点数不少于 4 个
    {
        CDC* pDC = GetDC();
        pDC->MoveTo(m_points.back());
        pDC->LineTo(m_points.front()); // 连接最后一个顶点与第一个顶点，形成封闭的多边形
        ReleaseDC(pDC);
    }
}

void CMyView::OnPaint()
{
    CPaintDC dc(this);
    CDC* pDC = &dc;

    if (m_points.size() >= 3) // 绘制的顶点数不少于 3 个
    {
        pDC->MoveTo(m_points.front());
        for (int i = 1; i < m_points.size(); i++)
        {
            pDC->LineTo(m_points[i]); // 绘制多边形
        }
        pDC->LineTo(m_points.front());
    }
}

接下来，我们来实现使用 De Casteljau 算法绘制三次 Bezier 曲线的功能。

1. 在 CView 类中添加 OnRButtonDown 和 DrawBezier 函数。

2. 在 OnRButtonDown 函数中判断是否已经绘制了多边形，如果是，则计算出 Bezier 曲线上的所有点，并将其保存到一个数组中。

3. 在 DrawBezier 函数中使用 CDC 类中的 PolyBezier 函数绘制 Bezier 曲线。

代码示例：

void CMyView::OnRButtonDown(UINT nFlags, CPoint point)
{
    if (m_points.size() >= 4) // 绘制的顶点数不少于 4 个
    {
        CDC* pDC = GetDC();

        int n = m_points.size() - 1; // 控制点数

        // 计算 Bezier 曲线上的所有点
        std::vector<CPoint> bezierPoints;
        for (double t = 0; t <= 1; t += 0.01)
        {
            std::vector<CPoint> Q(m_points.begin(), m_points.end());
            for (int r = 1; r <= n; r++)
            {
                for (int i = 0; i <= n - r; i++)
                {
                    Q[i].x = (1 - t) * Q[i].x + t * Q[i + 1].x;
                    Q[i].y = (1 - t) * Q[i].y + t * Q[i + 1].y;
                }
            }
            bezierPoints.push_back(Q[0]);
        }

        ReleaseDC(pDC);

        DrawBezier(bezierPoints); // 绘制 Bezier 曲线
    }
}

void CMyView::DrawBezier(const std::vector<CPoint>& points)
{
    CDC* pDC = GetDC();
    pDC->PolyBezier(&points.front(), points.size());
    ReleaseDC(pDC);
}

这样，我们就完成了使用 MFC 绘制多边形并使用 De Casteljau 算法绘制三次 Bezier 曲线的功能。