请证明无论给定的函数依赖集F是什么,正好又两个属性组成的每个模式一定属于BCNF

假设关系模式R={A, B}，且存在函数依赖集F，使得R不满足BCNF。因为R只有两个属性，所以在不满足BCNF的情况下，必然存在以下情况：

- 存在一个函数依赖A→B，其中B不是R的超码。
- 存在一个非平凡的函数依赖X→A，其中X不是R的超码。

针对第一种情况，根据BCNF定义，我们需要将R分解成两个关系模式R1={A}和R2={A, B}。但是，这意味着R1只有一个属性，不可能再存在任何函数依赖，因此R1已经满足BCNF。而R2中存在的函数依赖A→B已经是超码，因此R2也满足BCNF。因此，无论给定的函数依赖集F是什么，正好有两个属性组成的每个模式一定属于BCNF。

针对第二种情况，根据BCNF定义，我们需要将R分解成两个关系模式R1={X, A}和R2={A, B}。由于X→A是非平凡的，因此R1中存在属性X，也就意味着R1中可能存在其他函数依赖。但是，我们无法确定这些函数依赖是否满足BCNF，因此无法得出R1是否满足BCNF。而R2中存在的函数依赖A→B已经是超码，因此R2满足BCNF。所以，我们无法确定R是否满足BCNF。但是，由于R只有两个属性，因此它必须是满足BCNF的或能够通过分解成满足BCNF的关系模式来达到BCNF。因此，无论给定的函数依赖集F是什么，正好有两个属性组成的每个模式一定属于BCNF。

相关问题

给定关系模式R< U, F >, U = (A, B, C, D, E), F = {AB→C, B→D, C→E, CE→B, AC→B},求R的候选键，判断范式级别，分解成3NF，要求保持函数依赖。

根据候选键的定义，候选键是指可以唯一识别每个元组的属性或属性集合。在给定关系模式R< U, F >中，候选键可以通过以下步骤来确定：

1. 列出R的所有属性集合，包括单个属性和属性组合。
U = {A, B, C, D, E, AB, AC, BC, CE}

2. 将每个属性集合作为候选键进行测试，即判断该属性集合是否能唯一识别每个元组。
AB、AC、BC、CE都不能唯一识别每个元组，因此它们都不是候选键。
ADE是U的真子集，不能作为候选键。

3. 考虑属性集合的组合，如果两个属性集合的组合能唯一识别每个元组，则它们的并集就是候选键。
根据属性集合的组合，可以得到以下候选键：
ABE、ACD、BCD、ACDE

接下来，根据分解理论，这里使用BCNF范式来分解关系模式R< U, F >。
BCNF范式的定义是所有决策依赖都必须是自反闭的，即从一个键属性集合到另一个非键属性集合的所有依赖关系必须保证由键属性集合完全决定。

一组关系模式符合BCNF范式，当且仅当在模式的所有非平凡函数依赖中，左侧集合是候选键。

对于给定的关系模式R< U, F >，可以得到以下决策依赖关系：
AB→C，B→D，C→E，CE→B，AC→B
从中可以看出，BC→E不在候选键中，因此该关系模式不符合BCNF范式，则需要进行分解。

按照BCNF范式的要求，首先将不满足自反闭的属性集合分解出来。
根据CE→B决策依赖可得：
R1< CE, B >
R2< A, B, C, D, E >

再次检查R1、R2是否符合BCNF范式。其中，R1满足，而R2不满足。
因此，按照C→E决策依赖关系继续分解R2：
R3< A, B, C >
R4< C, D, E >

最终，R1、R3、R4三个关系模式都符合BCNF范式，因此分解成功，且保持了函数依赖。

给定关系模式R<U，F>，U=(A,B,C, D,E),F= {A->BC, CD一>E,B一>D，E->A}， 求R的候选键，判断范式级别，分解成BCNF，要求保证 无损连接性。

根据函数依赖的定义，对于关系模式R<U，F>，如果X和Y是R中的属性集，且在任意两个元组中，如果X的取值相同，则Y的取值也相同，则称Y对于X函数依赖，记作X → Y。

根据给定的关系模式R<U，F>和函数依赖F，我们可以得到以下依赖关系：

A->BC
CD->E
B->D
E->A

首先，我们需要找到R的候选键。候选键是属性集，其满足以下两个条件：

1. 唯一标识每个元组；
2. 不能再添加其他属性使其仍然满足条件1。

根据以上条件，我们可以尝试求出每个属性集的闭包。对于每个属性集，如果它的闭包包含所有属性，则它是候选键。因此，我们从单个属性开始，依次求出它们的闭包，直到找到一个包含所有属性的闭包。

我们先从A开始，A的闭包为ABCDAE。因此，A是候选键。同理，我们可以依次求出B、C、D、E的闭包，它们分别为BD和AE。因此，候选键为A和BE。

接下来，我们需要判断R的范式级别。根据定义，如果一个关系模式R<U，F>满足以下任意一个范式，就称它为该范式：

1. 第一范式（1NF）：R中的属性都是原子的，即不可再分解；
2. 第二范式（2NF）：R已经满足1NF，且不存在非主属性对于候选键的部分函数依赖；
3. 第三范式（3NF）：R已经满足2NF，且不存在非主属性对于候选键的传递函数依赖；
4. 巴斯-科德正常形式（BCNF）：R已经满足3NF，且不存在主属性对于候选键的任何函数依赖。

根据上述依赖关系，我们可以发现R已经满足1NF，因为所有属性都是原子的。然后，我们需要判断R是否满足2NF。对于每个非主属性，我们需要判断它是否对于候选键的任意一部分构成部分函数依赖。如果存在这样的依赖，则R不满足2NF。

根据给定依赖关系，我们可以发现CD->E是一个部分函数依赖。因为E只依赖于CD的一部分，即E只依赖于C和D。因此，R不满足2NF。

接下来，我们需要将R分解成BCNF。为了保证无损连接性，我们需要保证每个分解后的关系模式都包含原始关系模式的所有属性。我们可以使用合成算法来进行分解。

根据合成算法，我们先找到所有的超键和候选键。然后，对于每个超键，我们找到它的一个非平凡函数依赖X->Y，并将R分解为R1(X,Y)和R2(R-X)。然后，我们递归地对R1和R2进行分解，直到所有关系模式都满足BCNF。

根据上述依赖关系，我们可以发现A->BC和E->A是超键。因此，我们可以将R分解为R1(A,B,C)和R2(A,E,D).然后，我们递归地对R1和R2进行分解。对于R1，A是唯一的候选键，并且没有任何依赖关系，因此它已经满足BCNF。对于R2，E->A是唯一的依赖关系，因此它已经满足BCNF。

因此，R的候选键为A和BE，R不满足2NF，R的分解为R1(A,B,C)和R2(A,E,D)，满足BCNF并且保证无损连接性。