eigenfaces

### Eigenfaces算法原理

Eigenfaces 是一种基于主成分分析 (PCA) 的人脸识别技术。通过 PCA 方法，可以将原始高维图像数据降维到低维度的空间中表示，同时尽可能保持原始数据的主要特征不变。

#### 数据预处理
为了应用 PCA 进行人脸识别，首先需要准备一组训练样本集。每张人脸图片被视作一个向量，在二维平面上展开成为一维向量形式存储起来[^1]。假设有一批 \(N\) 幅尺寸相同的人脸灰度图，则可构建一个大小为 \((M\times N)\) 的矩阵 \(X\) 来保存这些图像的数据，其中 \(M=H*W\),\(H,W\) 分别代表高度和宽度像素数目；而每一列表示一张照片对应的矢量化后的数值序列。

#### 计算协方差矩阵及其特征值、特征向量
接着求解上述矩阵 X 的均值中心化版本 Y=(X-mean(X)) ，再计算得到协方差矩阵 C=Y'*Y/(N-1)，这里 * 表示转置操作。对于这个新的正定对称阵C而言，存在一系列相互垂直单位长度方向上的投影——即所谓的“特征脸”。它们对应着最大变化的方向，并且能够很好地概括整个数据库内的所有人脸信息[^2]。

% MATLAB code snippet to compute covariance matrix and its eigenvectors
mean_face = mean(training_images, 2);
centered_faces = training_images - repmat(mean_face, 1, size(training_images, 2));
cov_matrix = centered_faces' * centered_faces;
[eig_vectors, ~] = eigs(cov_matrix, num_eigenfaces); % Compute top 'num_eigenfaces' eigenfaces

#### 特征脸的选择与重建权重计算
选取前 K 大的特征根所关联的标准正交基底作为最终使用的特征脸集合 E={e_1,e_2,...,e_k} 。当给定任意新测试样例 z 后，可以通过内积运算获得它在这 k 维子空间里的坐标 w=[w₁,w₂,…wk]^T ：\[ w_i=\langle z-\mu , e_i\rangle,\quad i∈{1...K}\]

#### 应用场景
由于其高效性和良好的泛化能力,Eigenfaces 已经成功应用于多个领域：

- **身份验证**：利用个人独特生物特征完成自动登录过程；
- **安全监控**：公共场所摄像头捕捉画面实时匹配黑名单人员名单；
- **娱乐互动**：社交软件提供滤镜效果等功能增强用户体验。