matlab如何实现对非线性薛定谔方程的拉普拉斯变换

对于非线性薛定谔方程，它的一般形式为：

$$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V(x)\psi+f(\psi)$$

其中，$\psi$为波函数，$V(x)$为势能，$f(\psi)$为非线性项。我们需要对其进行拉普拉斯变换，即将其转化为动量空间的形式。

首先，我们可以将薛定谔方程用傅里叶变换表示为：

$$\psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(p,t)e^{ipx/\hbar}dp$$

其中，$\phi(p,t)$为波函数在动量空间的表示。将上式代入薛定谔方程得：

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(p,t)e^{ipx/\hbar}dp\right)=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(p,t)e^{ipx/\hbar}dp\right)+V(x)\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(p,t)e^{ipx/\hbar}dp\right)+f\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(p,t)e^{ipx/\hbar}dp\right)$$

化简得：

$$i\hbar\frac{\partial\phi(p,t)}{\partial t}=\frac{p^2}{2m}\phi(p,t)+V\left(\frac{\hbar}{ip}\frac{\partial\phi(p,t)}{\partial p}\right)+f\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(p,t)e^{ipx/\hbar}dp\right)$$

这就是非线性薛定谔方程在动量空间中的表示形式。我们可以使用MATLAB中的fft函数实现傅里叶变换，然后对变换后的结果进行进一步计算，最后再使用ifft函数将结果转换回空间域。