假定有一个递归算法, 其时间复杂度T(n)的递归定义为:C语言代码
时间: 2024-05-31 20:08:37 浏览: 16
如下:
int recursiveFunction(int n) {
if (n == 1) {
return 1;
}
return recursiveFunction(n/2) + recursiveFunction(n/2);
}
其中,n为正整数。
该算法的时间复杂度T(n)可用递归式表示为:
T(n) = T(n/2) + T(n/2) + O(1)
其中O(1)表示常数时间复杂度,即不随n的增大而增加的操作次数。
根据递归式,可以画出算法的递归树,如下图所示:
![image.png](attachment:image.png)
其中,根节点的代价为O(1),每个子节点的代价为T(n/2)。递归树的深度为log2 n,因为每次递归都将n除以2,直到n=1。
因此,算法的时间复杂度为:
T(n) = O(log n)
即算法的时间复杂度随n的增大而增加的速度是以log n为底的对数级别。
相关问题
假定有一个递归算法,其时间复杂度T(n)的递归定义为: T(n) ={8T(n/2) + O(nlogn),n> 1;1,n=1 求T(n)过程
根据递归定义,可以得到:
T(n) = 8T(n/2) + O(nlogn)
将n替换为n/2,得到:
T(n/2) = 8T(n/4) + O(nlog(n/2))
将T(n/2)代入T(n)中,得到:
T(n) = 8[8T(n/4) + O(nlog(n/2))] + O(nlogn)
化简,得到:
T(n) = 8^2 T(n/4) + 8O(nlog(n/2)) + O(nlogn)
以此类推,将T(n/4)代入T(n)中,得到:
T(n) = 8^3 T(n/8) + 8^2 O(nlog(n/4)) + 8O(nlog(n/2)) + O(nlogn)
化简,得到:
T(n) = 8^k T(n/2^k) + kO(nlog(n/2^k))
当n/2^k = 1时,即k=logn,代入上式可得:
T(n) = 8^logn T(1) + lognO(nlog1)
由于T(1)=1,8^logn = n^log8,O(nlog1) = O(1),代入上式可得:
T(n) = n^log8 + O(nlogn)
因此,该递归算法的时间复杂度为O(n^log8)。
假定有一个递归算法,其时间复杂度T(n)的递归定义为: T(n) ={8T(n/2) + O(nlogn),n> 1;1,n=1 求T(n)
根据递归定义可以得到:
T(n) = 8T(n/2) + nlogn
= 8(8T(n/4) + (n/2)log(n/2)) + nlogn
= 8^2T(n/4) + 2nlogn - 8nlog2 + nlogn
= 8^2T(n/4) + 3nlogn - 8nlog2
= 8^3T(n/8) + 4nlogn - 8nlog3
= ...
= 8^kT(n/2^k) + knlogn - (2^k) * nlog2
当n/2^k = 1时,即 k = logn 时,得到
T(n) = 8^logn + nlogn * logn - nlogn
= n^3(log2)^3 - n^2(log2)^2
所以,时间复杂度为 O(n^3log^3n)。
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