t检验的置信区间计算详细案例

假设我们有一组样本数据，样本大小为 $n=20$，样本均值为 $\bar{x}=75$，样本标准差为 $s=5$。我们想要计算这组数据的均值的置信区间，置信水平为 $95\%$，即 $\alpha=0.05$。

首先，我们需要根据样本大小和置信水平查找 $t$ 分布表格，找到自由度为 $n-1=19$ 时的临界值。在这个例子中，$t$ 分布表格告诉我们临界值为 $\pm2.093$。

接下来，我们可以使用以下公式计算置信区间：

$$
\bar{x} \pm t_{\alpha/2,n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}
$$

将样本数据代入公式，得到：

$$
75 \pm 2.093 \times \frac{5}{\sqrt{20}} \approx (71.48, 78.52)
$$

因此，我们可以在 $95\%$ 的置信水平下得出结论，总体均值落在区间 $(71.48, 78.52)$ 中。