定义有限数量的多种物品和多个背包,且不同物品和不同背包都有长、宽、高、体积、重量,以背包的体积利用率最大作为目标函数求解。装载时采用“密度递增”的定序规则和“占角策略”的定位规则,将密度最小的货物第一个放入原点所在的角落。在货物摆放过程中,需设定重量约束,背包重量平衡约束,体积约束、三维尺寸约束(即长、宽、高约束)。请用python对上述问题建模求解,并输出最优装载方案,详细至哪个背包放了哪种物品多少个
时间: 2023-05-28 22:04:00 浏览: 47
由于该问题涉及到多种限制条件,我们可以使用混合整数规划(Mixed Integer Programming, MIP)进行建模求解。以下是该问题的MIP模型:
目标函数:
$$\max \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}d_{i,j}x_{i,j}$$
其中,$m$为背包数量,$n$为物品数量,$d_{i,j}$为第$i$个背包中第$j$个物品的密度,$x_{i,j}$为第$i$个背包中是否放入第$j$个物品,取值为0或1。
约束条件:
1. 重量约束:对于每个背包,其放入的所有物品的重量之和不能超过该背包的最大重量。
$$\sum_{j=1}^{n}w_{j}x_{i,j} \leq W_{i}, \forall i=1,2,...,m$$
其中,$w_{j}$为第$j$个物品的重量,$W_{i}$为第$i$个背包的最大重量。
2. 背包重量平衡约束:所有背包的总重量之和应该尽量平衡。
$$\left|\sum_{j=1}^{n}w_{j}x_{i,j}-\frac{\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}w_{j}x_{i,j}}{m}\right|\leq \epsilon, \forall i=1,2,...,m$$
其中,$\epsilon$为一个小正数,用于控制平衡程度。
3. 体积约束:对于每个背包,其放入的所有物品的体积之和不能超过该背包的最大体积。
$$\sum_{j=1}^{n}v_{j}x_{i,j} \leq V_{i}, \forall i=1,2,...,m$$
其中,$v_{j}$为第$j$个物品的体积,$V_{i}$为第$i$个背包的最大体积。
4. 三维尺寸约束:对于每个背包,其放入的所有物品的长、宽、高分别之和不能超过该背包的最大长、宽、高。
$$\sum_{j=1}^{n}l_{j}x_{i,j} \leq L_{i}, \forall i=1,2,...,m$$
$$\sum_{j=1}^{n}w_{j}x_{i,j} \leq W_{i}, \forall i=1,2,...,m$$
$$\sum_{j=1}^{n}h_{j}x_{i,j} \leq H_{i}, \forall i=1,2,...,m$$
其中,$l_{j}$、$w_{j}$、$h_{j}$分别为第$j$个物品的长、宽、高,$L_{i}$、$W_{i}$、$H_{i}$分别为第$i$个背包的最大长、宽、高。
5. 取值约束:$x_{i,j}$只能取0或1。
$$x_{i,j} \in \{0,1\}, \forall i=1,2,...,m, j=1,2,...,n$$
6. 定位规则:对于每个背包,按照占角策略,将密度最小的货物第一个放入原点所在的角落。
$$\sum_{j=1}^{n}x_{i,j}=1, \forall i=1,2,...,m$$
$$x_{i,j} \leq x_{i,j+1}, \forall i=1,2,...,m, j=1,2,...,n-1$$
7. 定序规则:按照密度递增,优先选择密度较小的货物放入背包。
$$d_{i,1}x_{i,1} \leq d_{i,2}x_{i,2} \leq ... \leq d_{i,n}x_{i,n}, \forall i=1,2,...,m$$
将上述目标函数和约束条件转化为标准形式,即可使用MIP求解器求解该问题。具体实现可参考以下Python代码:
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