用二维数组编码解决马踏棋盘问题

马踏棋盘问题是一个经典的回溯算法问题，可以用二维数组编码来解决。

具体思路如下：

1. 定义一个 $n\times n$ 的二维数组 $board$，表示棋盘，初始化所有元素为 0。

2. 定义一个 $moves$ 数组，表示马可以走的 8 个方向。例如，$moves[0]$ 表示马向右上方走两步，即 $[2, -1]$。

3. 定义一个回溯函数 $backtrack(x, y, step)$，表示从坐标 $(x, y)$ 开始走第 $step$ 步。如果 $step=n^2$，说明已经遍历完整个棋盘，返回真；否则，枚举马可以走的 8 个方向，判断新位置是否合法，如果合法，更新棋盘，并递归调用回溯函数，如果找到一组可行解，直接返回真，否则回溯到上一步，恢复棋盘状态。

4. 在主函数中，从棋盘的不同位置开始搜索，直到找到一组可行解或者遍历完整个棋盘。

下面是代码实现：

def solveKT(n):
    # 定义棋盘
    board = [[0]*n for _ in range(n)]
    # 定义马可以走的8个方向
    moves = [
        [2, 1], [1, 2], [-1, 2], [-2, 1],
        [-2, -1], [-1, -2], [1, -2], [2, -1]
    ]

    # 定义回溯函数
    def backtrack(x, y, step):
        # 终止条件
        if step == n*n:
            return True
        # 枚举8个方向
        for move in moves:
            new_x, new_y = x+move[0], y+move[1]
            # 判断新位置是否合法
            if 0 <= new_x < n and 0 <= new_y < n and board[new_x][new_y] == 0:
                # 更新棋盘
                board[new_x][new_y] = step + 1
                # 递归调用回溯函数
                if backtrack(new_x, new_y, step+1):
                    return True
                # 恢复棋盘状态
                board[new_x][new_y] = 0
        # 没有找到可行解
        return False

    # 从不同位置开始搜索
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            board[i][j] = 1
            if backtrack(i, j, 1):
                return board
            board[i][j] = 0
    # 没有找到可行解
    return None

这个算法的时间复杂度是 $O(8^{n^2})$，因为每个格子都有 8 种走法，总共需要遍历 $8^{n^2}$ 种情况。在实际运行中，由于存在大量剪枝，所以时间复杂度会远远小于 $O(8^{n^2})$。