梯度下降求解softmax

以下是使用梯度下降求解softmax的步骤：

1.首先，我们需要定义softmax函数，其公式为：$$softmax(x_i) = \frac{e^{x_i}}{\sum_{j=1}^{k}e^{x_j}}$$ 其中，$x_i$表示第$i$个样本的特征向量，$k$表示类别数。

2.接下来，我们需要定义损失函数。在softmax回归中，常用的损失函数是交叉熵函数，其公式为：$$J(\theta) = -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{k}y_j^{(i)}log(\hat{y}_j^{(i)})$$ 其中，$m$表示样本数，$k$表示类别数，$y_j^{(i)}$表示第$i$个样本属于第$j$个类别的真实标签，$\hat{y}_j^{(i)}$表示第$i$个样本属于第$j$个类别的预测概率。

3.然后，我们需要对损失函数进行求导，得到梯度。对于第$j$个类别的参数$\theta_j$，其梯度为：$$\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j} = -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(y_j^{(i)} - \hat{y}_j^{(i)})x^{(i)}$$ 其中，$x^{(i)}$表示第$i$个样本的特征向量。

4.最后，我们可以使用梯度下降算法来更新参数。对于第$j$个类别的参数$\theta_j$，其更新公式为：$$\theta_j = \theta_j - \alpha\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j}$$ 其中，$\alpha$表示学习率。