softmax的梯度
时间: 2023-11-20 19:50:50 浏览: 27
softmax函数的梯度可以通过求解交叉熵损失函数对softmax函数输入的导数得到。假设softmax函数的输入为 $z$,输出为 $y$,则softmax函数的梯度为:
$$\frac{\partial y_i}{\partial z_j} = y_i(\delta_{ij} - y_j)$$
其中 $\delta_{ij}$ 为Kronecker delta符号,当 $i=j$ 时为1,否则为0。
相关问题
softmax梯度推导
softmax函数是一种常用的归一化函数,常用于分类问题。在神经网络中,softmax函数通常作为输出层的激活函数使用,用于将神经网络输出转换为概率分布。softmax函数的公式如下:
$$
softmax(x_i) = \frac{e^{x_i}}{\sum_{j=1}^{k} e^{x_j}}
$$
其中,$x_i$表示输入向量的第$i$个元素,$k$表示向量的长度。接下来是softmax函数的梯度推导。
假设softmax函数的输入为$x$,输出为$y$,则其梯度可以按照以下步骤推导得出:
1. 首先,对softmax函数的输出$y$求导:
$$
\frac{\partial y_i}{\partial x_j} = \frac{\partial}{\partial x_j} \frac{e^{x_i}}{\sum_{k=1}^{K} e^{x_k}}
$$
2. 对上式中的分母求导:
$$
\frac{\partial}{\partial x_j} \sum_{k=1}^{K} e^{x_k} = e^{x_j}
$$
3. 分子求导:
$$
\frac{\partial}{\partial x_j} e^{x_i} =
\begin{cases}
e^{x_i}, & j=i \\
0, & j \neq i
\end{cases}
$$
4. 将2、3步骤中的结果代入到1式中得到:
$$
\frac{\partial y_i}{\partial x_j} = \begin{cases}
\frac{e^{x_i}}{\sum_{k=1}^{K} e^{x_k}} (1 - \frac{e^{x_i}}{\sum_{k=1}^{K} e^{x_k}}), & j=i \\
-\frac{e^{x_i}}{(\sum_{k=1}^{K} e^{x_k})^2} e^{x_j}, & j \neq i
\end{cases}
$$
其中,当$j=i$时,$\frac{\partial y_i}{\partial x_j}$表示对$x_i$求导;当$j \neq i$时,$\frac{\partial y_i}{\partial x_j}$表示对$x_j$求导。
softmax梯度下降算法
根据引用[2]中的描述,softmax回归是一种多分类算法,它使用softmax函数将输出映射到多维向量。在训练过程中,我们需要使用梯度下降算法来最小化损失函数。下面是softmax梯度下降算法的步骤:
1.初始化权重矩阵W和偏置向量b。
2.对于每个训练样本,计算其预测输出y_pred,即将输入x乘以权重矩阵W并加上偏置向量b,然后将结果输入softmax函数得到多维向量。
3.计算损失函数L,通常使用交叉熵损失函数。
4.计算损失函数对权重矩阵W和偏置向量b的梯度,即反向传播。
5.使用梯度下降算法更新权重矩阵W和偏置向量b,即W = W - learning_rate * dW,b = b - learning_rate * db,其中learning_rate是学习率,dW和db是损失函数对W和b的梯度。
6.重复步骤2到步骤5,直到达到停止条件,例如达到最大迭代次数或损失函数的变化量小于某个阈值。
下面是一个使用Python实现softmax梯度下降算法的例子:
```python
import numpy as np
# 定义softmax函数
def softmax(x):
exp_x = np.exp(x)
return exp_x / np.sum(exp_x, axis=1, keepdims=True)
# 定义交叉熵损失函数
def cross_entropy_loss(y_pred, y_true):
m = y_pred.shape[0]
log_likelihood = -np.log(y_pred[range(m), y_true])
loss = np.sum(log_likelihood) / m
return loss
# 定义softmax梯度下降算法
def softmax_gradient_descent(X, y_true, num_classes, learning_rate, num_iterations):
# 初始化权重矩阵W和偏置向量b
m, n = X.shape
W = np.zeros((n, num_classes))
b = np.zeros((1, num_classes))
# 梯度下降迭代
for i in range(num_iterations):
# 计算预测输出y_pred
z = np.dot(X, W) + b
y_pred = softmax(z)
# 计算损失函数L
loss = cross_entropy_loss(y_pred, y_true)
# 计算梯度
dW = np.dot(X.T, (y_pred - y_true))
db = np.sum(y_pred - y_true, axis=0, keepdims=True)
# 更新权重矩阵W和偏置向量b
W -= learning_rate * dW
b -= learning_rate * db
# 打印损失函数
if i % 100 == 0:
print("Iteration %d, loss = %f" % (i, loss))
return W, b
# 测试
X = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9], [10, 11, 12]])
y_true = np.array([0, 1, 2, 1])
num_classes = 3
learning_rate = 0.1
num_iterations = 1000
W, b = softmax_gradient_descent(X, y_true, num_classes, learning_rate, num_iterations)
print("W = ", W)
print("b = ", b)
```
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