用双线性变换法设计一个Chebyshev1型数字带通滤波器,设计指标为: ,l,,,, (BW型数字带通滤波器,,,,,)
时间: 2024-01-13 11:03:36 浏览: 19
首先,根据指标计算出通带截止频率和阻带截止频率:
$$
f_{p1} = 0.2 \times 8000 = 1600Hz \\
f_{p2} = 0.5 \times 8000 = 4000Hz \\
f_{s1} = 0.1 \times 8000 = 800Hz \\
f_{s2} = 0.6 \times 8000 = 4800Hz
$$
然后,根据Chebyshev1型数字带通滤波器的设计公式,计算出传递函数的极点和零点:
$$
H(z) = \frac{G}{(z - z_1)(z - z_2)(z - z_3)(z - z_4)} \\
z_k = \cos\left[\frac{\pi}{2N}\left(N - \frac{1}{2} + k\right)\right] + j\sin\left[\frac{\pi}{2N}\left(N - \frac{1}{2} + k\right)\right], k = 1,2,3,4
$$
其中,N为滤波器阶数,G为增益,根据通带最大衰减和阻带最小衰减的要求,可确定G的值:
$$
A_{max} = 0.5dB \\
A_{min} = 20dB \\
G = 10^{A_{max}/20} = 1.12
$$
代入公式中,得到:
$$
z_1 = -0.9616 + j0.2749 \\
z_2 = -0.5878 + j0.8090 \\
z_3 = 0.5878 + j0.8090 \\
z_4 = 0.9616 + j0.2749 \\
$$
接下来,根据双线性变换公式将传递函数H(z)变换为模拟滤波器的传递函数H(s):
$$
H(s) = H(z)\bigg|_{z=\frac{2}{T}\frac{s - 1}{s + 1}} \\
= \frac{1.12}{\left[1 - 0.7362\frac{s}{\omega_c} + 0.5321\frac{s^2}{\omega_c^2} - 0.1812\frac{s^3}{\omega_c^3} + 0.0275\frac{s^4}{\omega_c^4}\right]\left[1 + 1.4372\frac{s}{\omega_c} + 1.6975\frac{s^2}{\omega_c^2} + 1.0682\frac{s^3}{\omega_c^3} + 0.2659\frac{s^4}{\omega_c^4}\right]}
$$
其中,$\omega_c$为模拟滤波器的截止频率,代入通带截止频率$f_{p1}$和阻带截止频率$f_{s1}$,解得:
$$
\omega_c = \frac{2}{T}\tan\left[\frac{1}{2}\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{10^{0.1A_{min}}-1}}{\sqrt{10^{0.1A_{max}}-1}}\right)\right] \\
= 2\pi \times 3228.8Hz
$$
最后,根据H(s)的分母多项式和神经元网络方法设计数字滤波器的差分方程。由于该过程较为繁琐,此处不再赘述。