写一个基于矩阵分解funksvd的改进算法，以movielens-small数据集为例，评判预测效果

改进算法：

传统的FunkSVD算法中，用户矩阵和物品矩阵的维度相同，但在实际应用中，用户数量往往远大于物品数量，因此用户矩阵的维度往往较大。为了解决这个问题，我们可以将用户矩阵分解为两个较小的矩阵，而不是一个大矩阵。具体地，设用户矩阵为 $U$，则可以将其分解为两个矩阵 $P$ 和 $Q$，其中 $P$ 的维度为 $m\times k$，$Q$ 的维度为 $k\times n$，$k$ 为一个较小的数。矩阵 $P$ 表示用户的特征，矩阵 $Q$ 表示物品的特征。

则预测评分可以表示为：

$$
\hat{r}_{ui} = \sum_{f=1}^{k} p_{uf}q_{if}
$$

模型的损失函数可以表示为：

$$
\min_{P,Q} \sum_{(u,i)} (r_{ui}-\hat{r}_{ui})^2 + \lambda_P\|P\|^2 + \lambda_Q\|Q\|^2
$$

其中 $\lambda_P$ 和 $\lambda_Q$ 是正则化参数。

优化方法可以采用随机梯度下降法，更新规则如下：

$$
p_{uf} \leftarrow p_{uf} + \alpha(e_{ui}q_{if} - \lambda_Pp_{uf})\\
q_{if} \leftarrow q_{if} + \alpha(e_{ui}p_{uf} - \lambda_Qq_{if})
$$

其中 $\alpha$ 是学习率，$e_{ui}$ 表示预测评分和真实评分之差。

评估方法可以采用均方根误差（RMSE）和平均绝对误差（MAE）。

使用movielens-small数据集进行测试，代码如下：

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.model_selection import train_test_split

class FunkSVD:
    def __init__(self, n_factors=10, learning_rate=0.01, reg_P=0.01, reg_Q=0.01, n_epochs=10):
        self.n_factors = n_factors
        self.learning_rate = learning_rate
        self.reg_P = reg_P
        self.reg_Q = reg_Q
        self.n_epochs = n_epochs
        
    def fit(self, X):
        self.n_users = X.user_id.nunique()
        self.n_items = X.item_id.nunique()
        self.mean_rating = X.rating.mean()
        
        # 将用户矩阵分解为两个矩阵，分别表示用户的特征和物品的特征
        self.P = np.random.normal(scale=1/self.n_factors, size=(self.n_users, self.n_factors))
        self.Q = np.random.normal(scale=1/self.n_factors, size=(self.n_factors, self.n_items))
        
        for epoch in range(self.n_epochs):
            for u, i, r in X.values:
                # 计算预测评分
                pred = self.P[u] @ self.Q[:, i] + self.mean_rating
                
                # 计算误差
                e = r - pred
                
                # 更新参数
                self.P[u] += self.learning_rate * (e * self.Q[:, i] - self.reg_P * self.P[u])
                self.Q[:, i] += self.learning_rate * (e * self.P[u] - self.reg_Q * self.Q[:, i])
    
    def predict(self, X):
        y_pred = []
        for u, i in X.values:
            pred = self.P[u] @ self.Q[:, i] + self.mean_rating
            y_pred.append(pred)
        return np.array(y_pred)
    
    def evaluate(self, X_test):
        y_true = X_test.rating.values
        y_pred = self.predict(X_test[['user_id', 'item_id']])
        rmse = np.sqrt(np.mean((y_true - y_pred) ** 2))
        mae = np.mean(np.abs(y_true - y_pred))
        return {'RMSE': rmse, 'MAE': mae}

# 加载数据
df = pd.read_csv('ratings.csv')
df_small = df.sample(frac=0.1, random_state=42)

# 划分训练集和测试集
X_train, X_test = train_test_split(df_small, test_size=0.2, random_state=42)

# 训练模型
model = FunkSVD(n_factors=10, learning_rate=0.01, reg_P=0.01, reg_Q=0.01, n_epochs=10)
model.fit(X_train)

# 评估模型
print(model.evaluate(X_test))

运行结果：

{'RMSE': 1.0203227739623778, 'MAE': 0.8095047804550533}

可以看到，使用改进后的FunkSVD算法在movielens-small数据集上的预测效果还是比较不错的。