递归方程求解T(n)=T（n/2）+1

根据递归方程T(n)=T(n/2)+1，我们可以使用递归树或主定理来求解。

方法一：递归树
我们可以使用递归树来求解递归方程。递归树是一种树形结构，它表示递归算法的执行过程。对于递归方程T(n)=T(n/2)+1，我们可以画出如下的递归树：

      T(n)
       |
      T(n/2)
       |
      T(n/4)
       |
      T(n/8)
       |
      ...
       |
      T(1)

其中，每个节点表示递归调用的一个子问题，节点上的数字表示该子问题的规模。由于每次问题的规模减半，所以递归树的深度为logn。又因为每个节点的计算时间为1，所以每层的计算时间为1，总计算时间为logn。因此，递归方程的解为T(n)=logn。

方法二：主定理
主定理是一种求解递归方程的通用方法，适用于形如T(n)=aT(n/b)+f(n)的递归方程，其中a≥1，b>1，f(n)是一个非负函数。对于递归方程T(n)=T(n/2)+1，我们可以将其转化为T(n)=T(n/2^1)+1，其中a=1，b=2，f(n)=1。根据主定理，递归方程的解为T(n)=θ(logn)。

相关问题

采用递归树求解以下递归方程：T(1)=1 T(n)=4T(n/2)+n

递归方程：T(1)=1 T(n)=4T(n/2) n>1

首先，我们可以画出递归树来帮助我们求解该递归方程。
对于递归方程 T(n) = 4T(n/2)，我们可以将其表示成以下递归树：

T(n)
/ \
T(n/2) T(n/2)
/ \ / \
T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4)
... ... ... ...

我们可以看到，每一层的节点数为原来的一半，即第 k 层有 2^(k-1) 个节点，因此，我们可以得到该递归树共有 log(n) 层。因此，我们可以得到以下公式：
T(n) = 1 + 4 + 4^2 + ... + 4^(log(n)-1) + 4^log(n)

接下来，我们可以使用等比数列求和公式来简化上式：
T(n) = 1 + 4 + 4^2 + ... + 4^(log(n)-1) + 4^log(n)
= (4^log(n+1) - 1)/(4-1) （等比数列求和公式）
= (2n-1)

因此，最终结果为 T(n) = 2n - 1。

求解如下递归方程T(1)=1，n=1;4T(n/2)+n^2

我们可以使用主定理（Master Theorem）来求解这个递归方程。主定理是一个用于求解形如 $T(n) = a T(n/b) + f(n)$ 的递归方程的定理，其中 $a$ 和 $b$ 是正整数，$f(n)$ 是一个非负函数。

这个递归方程中，$a=4$，$b=2$，$f(n)=n^2$。因为 $f(n)=n^2$ 是一个多项式函数，所以我们可以使用主定理的第二种情况：

如果存在一个常数 $\epsilon > 0$，使得 $f(n) = \mathcal{O}(n^{\log_b a - \epsilon})$，那么 $T(n) = \Theta(n^{\log_b a})$。

首先，我们计算出 $\log_b a=\log_2 4=2$。然后，我们需要找到一个常数 $\epsilon > 0$，使得 $f(n) = n^2 = \mathcal{O}(n^{\log_b a - \epsilon}) = \mathcal{O}(n^{2-\epsilon})$。

取 $\epsilon=1$，则 $n^2 = \mathcal{O}(n^{2-\epsilon})$。因此，根据主定理第二种情况，$T(n) = \Theta(n^{\log_b a}) = \Theta(n^2)$。

因此，递归方程 $T(1)=1$，$T(n)=4T(n/2)+n^2$ 的解为 $T(n) = \Theta(n^2)$。