递归方程求解T(n)=T（n/2）+1

根据递归方程T(n)=T(n/2)+1，我们可以使用递归树或主定理来求解。

方法一：递归树
我们可以使用递归树来求解递归方程。递归树是一种树形结构，它表示递归算法的执行过程。对于递归方程T(n)=T(n/2)+1，我们可以画出如下的递归树：

      T(n)
       |
      T(n/2)
       |
      T(n/4)
       |
      T(n/8)
       |
      ...
       |
      T(1)

其中，每个节点表示递归调用的一个子问题，节点上的数字表示该子问题的规模。由于每次问题的规模减半，所以递归树的深度为logn。又因为每个节点的计算时间为1，所以每层的计算时间为1，总计算时间为logn。因此，递归方程的解为T(n)=logn。

方法二：主定理
主定理是一种求解递归方程的通用方法，适用于形如T(n)=aT(n/b)+f(n)的递归方程，其中a≥1，b>1，f(n)是一个非负函数。对于递归方程T(n)=T(n/2)+1，我们可以将其转化为T(n)=T(n/2^1)+1，其中a=1，b=2，f(n)=1。根据主定理，递归方程的解为T(n)=θ(logn)。

相关问题

用主定理求解以下两个递归方程， 1. T（n）=9T（n/3）+5n2 2. T（n）=4T（n/5）+7n

1. 根据主定理，对于递归形式 T(n) = aT(n/b) + f(n)，其中a≥1，b>1，f(n)是一个渐进正函数，可得到以下结果：
- 如果 f(n) = O(n^logb a - ε)，其中 ε > 0，则T(n) = Θ(n^logb a)。
- 如果 f(n) = Θ(n^logb a logk n)，其中 k ≥ 0，则 T(n) = Θ(n^logb a logk+1 n)。
- 如果 f(n) = Ω(n^logb a + ε)，其中 ε > 0，且af(n/b) ≤ cf(n)，其中 c < 1，那么 T(n) = Θ(f(n))。

对于 T(n) = 9T(n/3) + 5n^2，可以看成a=9，b=3，f(n)=5n^2，因此：
- logb a = log3 9 = 2
- f(n) = O(n^logb a - ε)，其中 ε > 0，因为 n^2 = O(n^2+ε)，所以 f(n) = O(n^2)
- 因此，T(n) = Θ(n^log3 9) = Θ(n^2)

对于 T(n) = 4T(n/5) + 7n，可以看成a=4，b=5，f(n)=7n，因此：
- logb a = log5 4 < 1
- f(n) = Ω(n^logb a + ε)，其中 ε > 0，因为 n^1+ε = Ω(n)，所以 f(n) = Ω(n)
- 由于 af(n/b) = 4f(n/5) = 4(7n/5) = 28n/5，而不满足 af(n/b) ≤ cf(n)，其中 c < 1，因此无法套用主定理。
- 但是可以使用递归树法来解决，每个节点有4个子节点，每个子节点处理大小为 n/5 的问题，因此每层的贡献为 4*(7n/5)，即 28n/5，递归树的高度为 log5 n，因此总复杂度为 Θ(n^log5 4) = Θ(n^0.861)，约为O(n)的复杂度。

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采用递归树求解以下递归方程：T(1)=1 T(n)=4T(n/2)+n

递归方程：T(1)=1 T(n)=4T(n/2) n>1

首先，我们可以画出递归树来帮助我们求解该递归方程。
对于递归方程 T(n) = 4T(n/2)，我们可以将其表示成以下递归树：

T(n)
/ \
T(n/2) T(n/2)
/ \ / \
T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4)
... ... ... ...

我们可以看到，每一层的节点数为原来的一半，即第 k 层有 2^(k-1) 个节点，因此，我们可以得到该递归树共有 log(n) 层。因此，我们可以得到以下公式：
T(n) = 1 + 4 + 4^2 + ... + 4^(log(n)-1) + 4^log(n)

接下来，我们可以使用等比数列求和公式来简化上式：
T(n) = 1 + 4 + 4^2 + ... + 4^(log(n)-1) + 4^log(n)
= (4^log(n+1) - 1)/(4-1) （等比数列求和公式）
= (2n-1)

因此，最终结果为 T(n) = 2n - 1。