f(x)=sin πx, 试给出[0,1] 区间上的伯恩斯坦多项式 Bn(f, x), n=1~3
时间: 2024-06-07 12:10:21 浏览: 134
伯恩斯坦多项式是一种多项式逼近函数的方法,可以通过给定的一组数据点来构造一个多项式函数,使得该函数在这些点上与原函数的误差最小。在[0,1]区间上,伯恩斯坦多项式的表达式为:
B1(f, x) = f(0) + x(f(1) - f(0))
B2(f, x) = (1-x)f(0) + 2x(1-x)f(1) + xf(1)
B3(f, x) = (1-x)^2f(0) + 2x(1-x)f(1) + x^2(1-x)f(2) + xf(2)
将 f(x) = sin(πx) 代入上式可得:
B1(f, x) = 0 + x(sin(π) - 0) = sin(πx)
B2(f, x) = (1-x)sin(0) + 2x(1-x)sin(π/2) + xsin(π) = 2x - 4x^2 + 2x^3
B3(f, x) = (1-x)^2sin(0) + 2x(1-x)sin(π/2) + x^2(1-x)sin(π) + xsin(3π/2) = 8x^3 - 12x^2 + 6x - sin(πx)
因此,[0,1] 区间上的伯恩斯坦多项式 Bn(f, x),n=1~3 分别为:
B1(f, x) = sin(πx)
B2(f, x) = 2x - 4x^2 + 2x^3
B3(f, x) = 8x^3 - 12x^2 + 6x - sin(πx)
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五阶伯恩斯坦多项式matlab代码
### 实现五阶伯恩斯坦多项式的 MATLAB 代码
为了实现五阶伯恩斯坦多项式,在 MATLAB 中可以定义一个函数来计算这些多项式的值。以下是具体的实现方法:
```matlab
function B = bernstein_polynomial(n, k, t)
% 计算n阶k次伯恩斯坦基函数
if n < 0 || k < 0 || k > n
error('参数错误');
end
binomial_coefficient = nchoosek(n, k);
B = binomial_coefficient * (t.^k) .* ((1-t).^(n-k));
end
% 定义五阶伯恩斯坦多项式
n = 5;
t = linspace(0, 1, 100); % 创建从0到1的一百个均匀分布的点用于绘图
figure; hold on;
for k = 0:n
B_k = bernstein_polynomial(n, k, t);
plot(t, B_k, 'LineWidth', 2);
legend(sprintf('B_{%d,%d}', n, k)); % 添加图例
end
title('Five-Stage Bernstein Polynomials');
xlabel('Parameter t'); ylabel('Value of Polynomial');
grid on;
hold off;
```
上述代码实现了五阶伯恩斯坦多项式的计算并绘制了其图形表示[^1]。
opengl绘制伯恩斯坦曲线
伯恩斯坦曲线(Bézier Curve)是一种常用于计算机图形学中的曲线,可以用来描述平滑的曲线。OpenGL提供了一个名为“glMap1”的函数,可以用来绘制伯恩斯坦曲线。下面是一个简单的例子:
```
// 控制点数组
GLfloat ctrlpoints[4][3] = {
{-4.0, -4.0, 0.0}, {-2.0, 4.0, 0.0},
{2.0, -4.0, 0.0}, {4.0, 4.0, 0.0}
};
void display() {
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
glColor3f(1.0, 1.0, 1.0);
// 开启映射
glEnable(GL_MAP1_VERTEX_3);
glMap1f(GL_MAP1_VERTEX_3, 0.0, 1.0, 3, 4, &ctrlpoints[0][0]);
// 绘制曲线
glBegin(GL_LINE_STRIP);
for (int i = 0; i <= 30; i++) {
glEvalCoord1f((GLfloat) i / 30.0);
}
glEnd();
glFlush();
}
int main(int argc, char** argv) {
glutInit(&argc, argv);
glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);
glutInitWindowSize(400, 400);
glutCreateWindow("Bezier Curve Example");
glClearColor(0.0, 0.0, 0.0, 0.0);
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
gluOrtho2D(-5.0, 5.0, -5.0, 5.0);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glutDisplayFunc(display);
glutMainLoop();
return 0;
}
```
这个例子绘制了一个四次伯恩斯坦曲线,控制点数组中包含了四个三维点。在`display`函数中,我们先开启了`GL_MAP1_VERTEX_3`映射,并将控制点数组传递给OpenGL。然后我们使用`glBegin(GL_LINE_STRIP)`函数开始绘制线段,使用`glEvalCoord1f`函数对曲线进行采样,并在循环中逐个绘制采样点。最后使用`glEnd`函数结束绘制。
你可以根据自己的需要修改控制点数组,绘制不同的伯恩斯坦曲线。
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