f(x)=sin πx, 试给出[0,1] 区间上的伯恩斯坦多项式 Bn(f, x), n=1~3

伯恩斯坦多项式是一种多项式逼近函数的方法，可以通过给定的一组数据点来构造一个多项式函数，使得该函数在这些点上与原函数的误差最小。在[0,1]区间上，伯恩斯坦多项式的表达式为：

B1(f, x) = f(0) + x(f(1) - f(0))

B2(f, x) = (1-x)f(0) + 2x(1-x)f(1) + xf(1)

B3(f, x) = (1-x)^2f(0) + 2x(1-x)f(1) + x^2(1-x)f(2) + xf(2)

将 f(x) = sin(πx) 代入上式可得：

B1(f, x) = 0 + x(sin(π) - 0) = sin(πx)

B2(f, x) = (1-x)sin(0) + 2x(1-x)sin(π/2) + xsin(π) = 2x - 4x^2 + 2x^3

B3(f, x) = (1-x)^2sin(0) + 2x(1-x)sin(π/2) + x^2(1-x)sin(π) + xsin(3π/2) = 8x^3 - 12x^2 + 6x - sin(πx)

因此，[0,1] 区间上的伯恩斯坦多项式 Bn(f, x)，n=1~3 分别为：

B1(f, x) = sin(πx)

B2(f, x) = 2x - 4x^2 + 2x^3

B3(f, x) = 8x^3 - 12x^2 + 6x - sin(πx)