给出谱元法求解二维边值问题的参考代码

由于谱元法的实现比较复杂，需要考虑到基函数的选取、权重矩阵的计算等问题，因此这里只是给出一个参考代码，供大家了解谱元法的基本实现思路。

import numpy as np
from scipy.spatial.distance import cdist

def kernel_function(r, epsilon=1):
    """
    核函数：高斯函数
    """
    return np.exp(-(epsilon * r)**2)

def radial_basis_function(x, y, epsilon=1):
    """
    径向基函数
    """
    r = cdist(x, y)
    return kernel_function(r, epsilon)

def calculate_weights(x, y, u):
    """
    计算权重矩阵
    """
    phi = radial_basis_function(x, y)
    return np.linalg.solve(phi, u)

def evaluate(x, y, weights, epsilon=1):
    """
    求解二维边值问题
    """
    phi = radial_basis_function(x, y, epsilon)
    return np.dot(phi, weights)

# 示例1：求解y'' + y = sin(x)，y(0) = 0, y(pi) = 0

# 生成节点
N = 100
x = np.linspace(0, np.pi, N)
y = np.zeros(N)

# 计算右侧函数
f = np.sin(x)

# 计算权重矩阵
weights = calculate_weights(x.reshape(-1, 1), x.reshape(-1, 1), f)

# 求解
u = evaluate(x.reshape(-1, 1), x.reshape(-1, 1), weights)
print(u)

# 示例2：求解y'' + y = sin(x)，y(0) = 0, y'(pi) = 1

# 生成节点
N = 100
x = np.linspace(0, np.pi, N)
y = np.zeros(N)

# 计算右侧函数
f = np.sin(x)

# 计算权重矩阵
phi = radial_basis_function(x.reshape(-1, 1), x.reshape(-1, 1))
phi_d = np.gradient(phi)[0]
weights = np.linalg.solve(phi_d[-1].reshape(1, -1), np.array([1]))

# 求解
u = evaluate(x.reshape(-1, 1), x.reshape(-1, 1), weights)
print(u)

需要注意的是，这里给出的代码只能求解简单的二维边值问题，对于更加复杂的问题，需要进行进一步的改进和优化。