方向余弦矩阵转欧拉角

### 将方向余弦矩阵转换为欧拉角

为了将方向余弦矩阵（也称为旋转矩阵）转换成欧拉角，通常假设使用的旋转顺序是从Z轴到Y轴再到X轴。给定一个3×3的方向余弦矩阵 \( R \)，可以通过以下公式计算对应的欧拉角：

\[
\begin{align*}
\phi &= atan2(R_{32}, R_{33}) \\
\theta &= asin(-R_{31}) \\
\psi &= atan2(R_{21}, R_{11})
\end{align*}
[^1]

其中，
- \( \phi \) 是绕 X 轴的旋转角度；
- \( \theta \) 是绕 Y 轴的旋转角度；
- \( \psi \) 是绕 Z 轴的旋转角度。

需要注意的是，在某些情况下可能会遇到奇异性问题，即当 \( \theta = ±90^\circ \) 时会出现所谓的“万向锁”。此时，\( \phi \) 和 \( \psi \) 的组合无法区分，因为两个自由度被压缩到了一起。为了避免这种情况的发生，推荐使用四元数作为中间形式来进行转换[^3]。

下面是一个Python代码示例，用于展示如何从方向余弦矩阵获取欧拉角：

import numpy as np

def dcm_to_euler(dcm):
    phi = np.arctan2(dcm[2, 1], dcm[2, 2])
    theta = np.arcsin(-dcm[2, 0])
    psi = np.arctan2(dcm[1, 0], dcm[0, 0])

    return np.array([phi, theta, psi]) * (180 / np.pi)

# 测试数据：输入一个已知的方向余弦矩阵
test_dcm = np.array([[0.7071, -0.7071, 0],
                     [0.7071, 0.7071, 0],
                     [0      ,       0, 1]])

eulerAngles = dcm_to_euler(test_dcm)
print("Euler Angles:", eulerAngles)

此程序定义了一个名为 `dcm_to_euler` 函数，它接受一个3x3数组作为参数并返回三个浮点数值组成的列表，代表相应的欧拉角。最后还提供了一组测试用的数据来验证该函数的功能。