一个矩阵满秩且秩为n另一个矩阵的秩是n-1那么这个两个矩阵相乘得到的矩阵的秩是多少

设矩阵A的大小为n×n，秩为n，矩阵B的大小为n×m，秩为n-1。则AB的秩不一定固定，而是有取值范围。

根据矩阵秩的性质，有rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}。因为矩阵A满秩，所以rank(A)=n，因此rank(AB)≤n-1。

另一方面，根据矩阵秩的定义，矩阵的秩等于其最大线性无关列向量组成的矩阵的秩。设矩阵A的列向量为a1, a2, ..., an，矩阵B的列向量为b1, b2, ..., bm。则AB的列向量可以表示为{A×b1, A×b2, ..., A×bm}。因为矩阵B的秩为n-1，所以b1, b2, ..., bm中必然存在一组线性相关的列向量，不妨设为b1, b2, ..., bk（k ≤ n-1）。则AB的列向量组成的矩阵中，第k列可以表示为：

A×bk = A×(b1+c2+b3+...+ck)

其中c2, c3, ..., ck是b2, b3, ..., bk的线性组合。因为A满秩，所以A×(b1+c2+b3+...+ck)与b1, b2, ..., bk线性相关。因此，AB的列向量组成的矩阵中，第k列可以表示为前k-1列的线性组合。因此，AB的秩最大为n-1。

综上所述，0 ≤ rank(AB) ≤ n-1。具体取决于矩阵B的列向量是否与矩阵A的列向量线性相关。

相关问题

matlab中实现不满秩的矩阵分解成两个共轭矩阵相乘的形式

一个不满秩的矩阵可以用两个共轭矩阵相乘的形式表示为：

$A=UH^* $

其中，$U$是$n \times r$矩阵，$H$是$r \times m$矩阵，$r$是矩阵$A$的秩。

可以使用奇异值分解（SVD）来进行不满秩矩阵的分解。对于一个$m \times n$的矩阵$A$，其SVD分解可以写成：

$A=U\Sigma V^*$

其中，$U$和$V$是共轭矩阵，$\Sigma$是对角线上由奇异值组成的矩阵，且满足$A=U\Sigma V^*$。

如果$A$的秩为$r$，则$\Sigma$的大小为$r \times r$，且只有前$r$个奇异值非零。因此，可以将$\Sigma$分解为两个矩阵：

$\Sigma = \begin{bmatrix} \Sigma_1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

其中，$\Sigma_1$是对角线上前$r$个奇异值组成的$r \times r$矩阵。因此，我们可以将$U$和$V$分解为以下形式：

$U = [U_1,U_2]$

$V = [V_1,V_2]$

其中，$U_1$和$V_1$是由$U$和$V$的前$r$列组成的矩阵，$U_2$和$V_2$是由$U$和$V$的后$n-r$和$m-r$列组成的矩阵。

因此，我们可以将$A$分解为：

$A = U \Sigma V^* = U_1 \Sigma_1 V_1^*$

这就是一个不满秩矩阵分解成两个共轭矩阵相乘的形式。可以在MATLAB中使用SVD函数进行这种分解。

两行一列的矩阵与n-1行2列的矩阵相乘怎么算

两行一列的矩阵可以表示为矩阵 A，n-1行2列的矩阵可以表示为矩阵 B。要计算这两个矩阵的乘积，需要确保矩阵 A 的列数与矩阵 B 的行数相匹配。

假设矩阵 A 为 [a1; a2]，其中 a1 和 a2 分别表示第一行和第二行的元素。矩阵 B 可以表示为：

B = [b1,1 b1,2;
b2,1 b2,2;
. . ;
. . ;
bn-1,1 bn-1,2]

则矩阵乘积 C = A * B 可以表示为：

C = [a1 * b1,1 + a2 * b1,2, a1 * b2,1 + a2 * b2,2, ... , a1 * bn-1,1 + a2 * bn-1,2]

最终得到的 C 是一个两行两列的矩阵，其中每个元素都是由对应行和列的元素相乘再相加而得到的。

请注意，这个方法仅适用于两行一列的矩阵与n-1行2列的矩阵相乘的特定情况。如果矩阵的大小不同，需要采用不同的方法来计算乘积。