6.41 已知某因果稳定LSI系统的差分方程为 y(n) -0.75y( n-1) + 0.125y( n-2) = 4x(n)+3x( n-1) (1)求系统的频率响应 H ( e j Ω ) ; (2)求激励 x₁(n)=10ε(n)的稳态输出响应y₁(n); (3)求激励 x 2 ( n ) = 10 cos ⁡ ( π 6 n ) ε ( n ) 的稳态输出响应y₂(n)； (4)求激励 x 3 ( n ) = 10 cos ⁡ ( 5 π 6 n ) ε ( n ) 的稳态输出响应y₃(n)。

为了方便，我们先将差分方程转换为系统函数的形式。令 $H(z)$ 表示系统函数，则有：

$$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{4z+3}{z^2-0.75z+0.125}$$

(1) 求系统的频率响应 $H(e^{j\Omega})$：

将 $z$ 替换为 $e^{j\Omega}$，得到：

$$H(e^{j\Omega}) = \frac{4e^{j\Omega}+3}{e^{2j\Omega}-0.75e^{j\Omega}+0.125}$$

(2) 求激励 $x_1(n)=10\varepsilon(n)$ 的稳态输出响应 $y_1(n)$：

将 $x_1(n)$ 代入差分方程，得到：

$$y(n) -0.75y(n-1) + 0.125y(n-2) = 40+30\varepsilon(n-1)$$

考虑稳态响应，即 $n\to\infty$ 时，$y(n)$ 不再随时间变化。此时有 $y(n-1)=y(n-2)=y_\infty$，代入上式，得到：

$$y_\infty -0.75y_\infty + 0.125y_\infty = 0$$

解得 $y_\infty = 0$。因此，激励 $x_1(n)$ 的稳态输出响应为 $y_1(n)=0$。

(3) 求激励 $x_2(n)=10\cos(\frac{\pi}{6}n)\varepsilon(n)$ 的稳态输出响应 $y_2(n)$：

将 $x_2(n)$ 代入差分方程，得到：

$$y(n) -0.75y(n-1) + 0.125y(n-2) = 40\cos(\frac{\pi}{6}n)+30\cos(\frac{\pi}{6}(n-1))$$

同样考虑稳态响应，有 $y(n-1)=y(n-2)=y_\infty$，代入上式，得到：

$$y_\infty -0.75y_\infty + 0.125y_\infty = 0.5(20\sqrt{3}+15)$$

解得 $y_\infty = \frac{2(20\sqrt{3}+15)}{7}$。因此，激励 $x_2(n)$ 的稳态输出响应为：

$$y_2(n) = \frac{2(20\sqrt{3}+15)}{7}\cos(\frac{\pi}{6}n)$$

(4) 求激励 $x_3(n)=10\cos(\frac{5\pi}{6}n)\varepsilon(n)$ 的稳态输出响应 $y_3(n)$：

将 $x_3(n)$ 代入差分方程，得到：

$$y(n) -0.75y(n-1) + 0.125y(n-2) = 40\cos(\frac{5\pi}{6}n)+30\cos(\frac{5\pi}{6}(n-1))$$

同样考虑稳态响应，有 $y(n-1)=y(n-2)=y_\infty$，代入上式，得到：

$$y_\infty -0.75y_\infty + 0.125y_\infty = -0.5(20\sqrt{3}-15)$$

解得 $y_\infty = \frac{2(-20\sqrt{3}+15)}{7}$。因此，激励 $x_3(n)$ 的稳态输出响应为：

$$y_3(n) = \frac{2(-20\sqrt{3}+15)}{7}\cos(\frac{5\pi}{6}n)$$