python分块求逆矩阵

### 使用 Python 对分块矩阵进行求逆运算

对于分块矩阵的求逆操作，可以借助 `numpy` 和 `scipy` 库来完成。以下是具体方法：

#### 方法一：直接使用 `block_diag`

如果分块矩阵是对角化的，则可以直接使用 `scipy.linalg.block_diag` 函数创建并求逆。

from scipy.linalg import block_diag, inv
import numpy as np

# 创建两个子矩阵
A1 = np.array([[4, 7], [2, 6]])
A2 = np.array([[3, 8]])

# 构建分块对角矩阵
B = block_diag(A1, A2)

# 计算其逆矩阵
inv_B = inv(B)
print("分块对角矩阵 B 的逆为:\n", inv_B)

这种方法适用于构建的是分块对角形式的情况[^1]。

#### 方法二：手动定义分块矩阵并通过 Schur 补法求逆

当面对更复杂的非对角化分块结构时，可采用Schur补的方式来进行求解。假设有一个如下所示的一般性分块矩阵\[M=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\]

此时可以通过以下公式计算得到整个大矩阵 \( M \) 的逆:

\[M^{-1}= \left(\begin{array}{cc}
(A-BD^{-1}C)^{-1}&-(A-BD^{-1}C)^{-1}BD^{-1}\\
-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}
\end{array}\right)\]

这里需要注意的是，在实际编程过程中应当先验证各个子矩阵是否满足可逆条件再执行相应操作；另外还需考虑数值稳定性等问题[^2]。

def schur_complement_inverse(A, B, C, D):
    """
    Calculate the inverse of a block matrix using Schur complement.
    
    Parameters:
        A,B,C,D : ndarray
            Sub-matrices forming the original large matrix.

    Returns:
        The inverted result of the whole big matrix formed by these four sub-matrices.
    """

    # Check invertibility and compute inverses where needed
    try:
        DA_inv = inv(D)
        AD_inv = inv(A - B @ DA_inv @ C)
        
        top_left = AD_inv
        top_right = -AD_inv @ B @ DA_inv
        bottom_left = -DA_inv @ C @ AD_inv
        bottom_right = DA_inv + DA_inv @ C @ top_right
    
        return np.vstack((np.hstack((top_left, top_right)),
                          np.hstack((bottom_left, bottom_right))))
                          
    except LinAlgError:
        raise ValueError('One or more blocks are singular.')

# Example usage with random matrices
if __name__ == '__main__':
    size_A, size_D = 2, 3
    A = np.random.rand(size_A, size_A)+np.eye(size_A)*0.5  # Ensure non-singularity
    B = np.random.rand(size_A, size_D)
    C = np.random.rand(size_D, size_A)
    D = np.random.rand(size_D, size_D)+np.eye(size_D)*0.5  # Ensure non-singularity

    full_matrix = np.bmat([[A, B],
                           [C, D]])
                           
    print("Original Matrix:")
    print(full_matrix)
    
    computed_inverse = schur_complement_inverse(A=A, B=B, C=C, D=D)
    print("\nComputed Inverse Using Schur Complement Method:")
    print(computed_inverse)

上述代码展示了如何通过 Schur 补的方法来实现一般情况下任意分块矩阵的求逆过程，并提供了具体的例子用于测试该函数的功能[^3]。