《机器人与数字人：基于MATLAB的建模与控制》——2.1节向量、坐标变换和空间描述...

2.1 向量、坐标变换和空间描述

2.1.1 向量

向量是一种在几何和物理学中常用的数学工具，它可以表示物理量的大小和方向。在二维情况下，向量可以用一个有序数对(x,y)表示。在三维情况下，向量可以用一个有序三元组(x,y,z)表示。

向量的长度通常用符号||v||表示，表示向量v的大小，也称作模。向量的方向可以用一个指向向量的箭头表示。

向量可以进行加、减、数乘、点乘等运算。其中，加法和减法的规则如下：

$$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$$

$$(x_1,y_1)-(x_2,y_2)=(x_1-x_2,y_1-y_2)$$

数乘的规则如下：

$$k(x,y)=(kx,ky)$$

点乘的规则如下：

$$(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=x_1x_2+y_1y_2$$

2.1.2 坐标变换

在三维空间中，物体的位置可以用一个有序三元组(x,y,z)表示。但是，当我们需要描述物体在不同坐标系下的位置时，就需要进行坐标变换。

假设有两个坐标系，分别为XYZ和xyz，它们之间的关系可以用一个转换矩阵T表示。当一个物体在XYZ坐标系下的位置为P=(x,y,z)时，它在xyz坐标系下的位置可以通过下面的公式计算得到：

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix}=T\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$$

其中，(x',y',z')表示物体在xyz坐标系下的位置。

2.1.3 空间描述

在机器人学中，常用的空间描述方式有以下几种：

(1) 位姿表示法

位姿表示法是机器人学中最常用的空间描述方式之一。它用一个有序六元组(x,y,z,roll,pitch,yaw)来表示机器人的位置和姿态。其中，(x,y,z)表示机器人的位置，(roll,pitch,yaw)表示机器人的姿态。

(2) 关节角表示法

关节角表示法是机器人学中另一种常用的空间描述方式。它用一个有序n元组(q1,q2,...,qn)来表示机器人的关节角度。其中，q1表示第1个关节的角度，q2表示第2个关节的角度，以此类推。

(3) 变换矩阵表示法

变换矩阵表示法是一种通用的空间描述方式。它用一个4×4的变换矩阵T来表示机器人的位置和姿态。其中，T的前三行表示机器人的姿态，第四行表示机器人的位置。

(4) 旋转矩阵表示法

旋转矩阵表示法是一种特殊的变换矩阵表示法。它用一个3×3的旋转矩阵R来表示机器人的姿态。其中，R的每一列表示机器人在世界坐标系下的x、y、z轴方向。