|A|=2。则2A的逆矩阵的行列式等于多少

对于一个矩阵 \( A \)，其阶数（即行数和列数）为 \( n \)，如果 \( |A| = 2 \) 表示 \( A \) 的行列式为 2，那么矩阵 \( 2A \) 的行列式的计算方法是将 \( A \) 的每个元素乘以2，然后再取这个新矩阵的行列式。

由于 \( |2A| = (2)^n \cdot |A| \)，所以当 \( n=2 \)（因为你说 \( A \) 的秩或维度是2）时：

\[ |2A| = 2^2 \cdot |A| = 4 \cdot 2 = 8 \]

因此，矩阵 \( 2A \) 的逆矩阵的行列式是 \( \frac{1}{|2A|} = \frac{1}{8} \)。请注意，一个矩阵只有在其可逆的情况下才会有逆矩阵，而 \( |2A| = 8 \) 并不意味着 \( 2A \) 必定可逆，还需要额外确认 \( 2A \) 是否满秩。

相关问题

已知a与b相似，若a为三阶矩阵，且｜2a｜=24，｜b*｜=

我可以回答这个问题。根据题意，我们可以得到：

｜2a｜=24

即

｜a｜=12

因为a与b相似，所以它们有相同的特征值。设a的特征值为λ，则有：

｜a-λI｜=0

因为a是三阶矩阵，所以它有三个特征值。设它们分别为λ1，λ2，λ3，则有：

λ1+λ2+λ3=Tr(a)

λ1λ2+λ1λ3+λ2λ3=det(a)

根据题意，我们知道：

｜b*｜=｜b｜=2｜a｜=24

因为b与a相似，所以它们有相同的特征值。设b的特征值为μ，则有：

｜b-μI｜=0

因为b是三阶矩阵，所以它有三个特征值。设它们分别为μ1，μ2，μ3，则有：

μ1+μ2+μ3=Tr(b)

μ1μ2+μ1μ3+μ2μ3=det(b)

根据相似矩阵的性质，我们知道：

Tr(b)=Tr(a)=λ1+λ2+λ3

det(b)=det(a)=λ1λ2λ3

因此，我们可以得到：

μ1+μ2+μ3=λ1+λ2+λ3=Tr(a)=12

μ1μ2+μ1μ3+μ2μ3=λ1λ2λ3=det(a)=144

又因为：

｜b*｜=2｜a｜=24

所以：

μ1μ2μ3=12

现在我们有了μ1，μ2，μ3的值，我们可以计算出b的行列式：

det(b)=(μ1-λ)(μ2-λ)(μ3-λ)

将λ取为μ1，μ2，μ3中的一个，代入上式，就可以得到b的行列式。因为b是三阶矩阵，所以它有三个行列式。设它们分别为d1，d2，d3，则有：

d1=(μ1-λ1)(μ2-λ1)(μ3-λ1)

d2=(μ1-λ2)(μ2-λ2)(μ3-λ2)

d3=(μ1-λ3)(μ2-λ3)(μ3-λ3)

因此，我们可以得到b的行列式：

det(b)=d1+d2+d3

至此，我们就得到了b的行列式。

已知四阶矩阵A不可逆,E是与A同阶的单位矩阵,且满足 |E+2A|=0,|2E-k|= 0.1-E+A|=0. 求 B=A^2-2A+3E 的特征值.

首先，由于矩阵 $A$ 不可逆，那么它的行列式 $|A|$ 必然为 $0$。又因为 $|E+2A|=0$，所以 $-2$ 是 $A$ 的一个特征值；同理，$0.1$ 和 $1$ 分别是矩阵 $2E-k$ 和 $E+A$ 的特征值。

接下来我们来计算 $B=A^2-2A+3E$ 的特征值。首先有：

$$
B=A^2-2A+3E=(A-E)^2+2E
$$

因为 $A$ 不可逆，所以 $0$ 是 $A$ 的一个特征值，从而 $-1$ 是 $A-E$ 的一个特征值，所以 $(-1)^2=1$ 是 $(A-E)^2$ 的一个特征值。又因为 $2E$ 是一个对角矩阵，所以它的特征值就是对角线上的元素，即 $2$。因此，$B$ 的特征值为：

$$
\lambda_B=\lambda_{(A-E)^2}+2=1+2=3
$$

因此，矩阵 $B$ 的特征值为 $3$。