softmax梯度推导
时间: 2024-06-05 15:04:53 浏览: 24
softmax函数是一种常用的归一化函数,常用于分类问题。在神经网络中,softmax函数通常作为输出层的激活函数使用,用于将神经网络输出转换为概率分布。softmax函数的公式如下:
$$
softmax(x_i) = \frac{e^{x_i}}{\sum_{j=1}^{k} e^{x_j}}
$$
其中,$x_i$表示输入向量的第$i$个元素,$k$表示向量的长度。接下来是softmax函数的梯度推导。
假设softmax函数的输入为$x$,输出为$y$,则其梯度可以按照以下步骤推导得出:
1. 首先,对softmax函数的输出$y$求导:
$$
\frac{\partial y_i}{\partial x_j} = \frac{\partial}{\partial x_j} \frac{e^{x_i}}{\sum_{k=1}^{K} e^{x_k}}
$$
2. 对上式中的分母求导:
$$
\frac{\partial}{\partial x_j} \sum_{k=1}^{K} e^{x_k} = e^{x_j}
$$
3. 分子求导:
$$
\frac{\partial}{\partial x_j} e^{x_i} =
\begin{cases}
e^{x_i}, & j=i \\
0, & j \neq i
\end{cases}
$$
4. 将2、3步骤中的结果代入到1式中得到:
$$
\frac{\partial y_i}{\partial x_j} = \begin{cases}
\frac{e^{x_i}}{\sum_{k=1}^{K} e^{x_k}} (1 - \frac{e^{x_i}}{\sum_{k=1}^{K} e^{x_k}}), & j=i \\
-\frac{e^{x_i}}{(\sum_{k=1}^{K} e^{x_k})^2} e^{x_j}, & j \neq i
\end{cases}
$$
其中,当$j=i$时,$\frac{\partial y_i}{\partial x_j}$表示对$x_i$求导;当$j \neq i$时,$\frac{\partial y_i}{\partial x_j}$表示对$x_j$求导。