神经网络代价函数推导

神经网络的代价函数，也称为损失函数，用于衡量模型预测结果与实际标签之间的差异。常见的代价函数有均方误差（Mean Squared Error）和交叉熵（Cross Entropy）。

下面我以交叉熵代价函数为例进行推导。

假设我们有一个神经网络，输入样本为 x，对应的标签为 y。设模型的输出为 a，表示网络对样本 x 的预测结果。交叉熵代价函数可以定义为：

\[ J(a, y) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} y_{ij} \log(a_{ij}) \]
其中，m 表示样本数量，n 表示标签类别数量。

首先，我们需要将标签 y 进行 one-hot 编码。即将每个标签转换为一个长度为 n 的向量，其中只有对应类别的位置为 1，其余位置为 0。例如，如果第 i 个样本的标签是类别 j，则 y_ij = 1，其他位置都为 0。

然后，我们可以使用 softmax 函数将模型的输出 a 转换为概率分布。softmax 函数的定义如下：

\[ \sigma(z)_{ij} = \frac{e^{z_{ij}}}{\sum_{k=1}^{n} e^{z_{ik}}} \]

其中，z 是预测结果经过一个线性变换后的输出，可以看作是未经过激活函数的结果。σ 表示 softmax 函数。

通过 softmax 函数，我们将模型的输出 a 转换为概率分布，表示每个类别的预测概率。

接着，我们可以使用交叉熵代价函数来衡量网络预测结果与实际标签之间的差异。交叉熵代价函数的定义如上所示。

最后，我们可以通过反向传播算法来求解代价函数对于模型参数的梯度，进而更新参数以减小代价函数的值。

希望以上推导对你有所帮助！如果还有其他问题，请继续提问。