动态规划，详解最少硬币找零问题，使用c++实现，包含算法的解题思路与对实验结果的分析讨论

最少硬币找零问题是动态规划领域中的一个经典问题，其主要思想是使用动态规划算法来求解最少的硬币数量，以凑出给定的金额。

该问题可以用动态规划的思想来求解，具体思路如下：

1. 定义状态：用 dp[i] 表示凑出 i 元所需要的最少硬币数量。

2. 状态转移方程：对于每个硬币的面值，我们可以选择使用该硬币或者不使用该硬币，因此可以得到状态转移方程：dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1)，其中 coins[j] 表示第 j 枚硬币的面值，dp[i - coins[j]] 表示使用该硬币所需的最少硬币数量。

3. 边界条件：当需要凑出的金额为 0 时，所需的最少硬币数量为 0，即 dp[0] = 0。

4. 最终结果：最终结果为 dp[amount]，其中 amount 为需要凑出的金额。

下面给出一个动态规划实现最少硬币找零问题的 C++ 代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
    vector<int> dp(amount + 1, amount + 1);
    dp[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= amount; i++) {
        for (int j = 0; j < coins.size(); j++) {
            if (coins[j] <= i) {
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
            }
        }
    }
    return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
}

int main() {
    vector<int> coins = {1, 2, 5};
    int amount = 11;
    int res = coinChange(coins, amount);
    cout << res << endl;
    return 0;
}

该函数接受两个参数，一个是硬币数组 coins，另一个是需要凑成的金额 amount。最终返回凑成 amount 元所需的最少硬币数，如果无法凑成则返回 -1。

接下来对该算法进行分析讨论。

1. 时间复杂度分析

该算法使用了两层循环，因此时间复杂度为 O(amount * coins.size())。

2. 空间复杂度分析

该算法使用了一个数组 dp 来存储状态值，因此空间复杂度为 O(amount)。

3. 实验结果分析

下面对该算法在不同数据集上的实验结果进行分析。

（1）coins = [1, 2, 5]，amount = 11

该数据集中包含了三种不同面值的硬币，需要凑出的金额为 11。使用该算法可以得到最少的硬币数量为 3。

（2）coins = [2]，amount = 3

该数据集中只包含了一种面值为 2 的硬币，需要凑出的金额为 3。使用该算法可以得到无法凑成该金额的结果 -1。

（3）coins = [1, 3, 4]，amount = 6

该数据集中包含了三种不同面值的硬币，需要凑出的金额为 6。使用该算法可以得到最少的硬币数量为 2。

从以上实验结果可以看出，该算法具有较好的准确性和实用性，能够在不同的数据集上得到较好的效果。