共轭梯度法matlab

以下是在 MATLAB 中使用共轭梯度法求解线性方程组的示例代码。假设要求解的方程组为 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，b 是一个列矢量。

% 定义方程组的系数矩阵 A 和右侧向量 b
A = [4 -1 0 -1 0 0;
-1 4 -1 0 -1 0;
0 -1 4 0 0 -1;
-1 0 0 4 -1 0;
0 -1 0 -1 4 -1;
0 0 -1 0 -1 4];
b = [1; 0; 0; 0; 0; 0];

% 初始猜测解为零向量
x0 = zeros(size(A, 1), 1);

% 设置共轭梯度法的参数和迭代次数
max_iter = 10000;
tol = 1e-10;

% 调用 MATLAB 自带的共轭梯度法函数进行求解
[x, flag, relres, iter, resvec] = pcg(A, b, tol, max_iter);

% 输出结果
if flag == 0
fprintf('共轭梯度法收敛，迭代次数：%d\n', iter);
fprintf('解向量：\n');
disp(x);
else
fprintf('共轭梯度法未收敛，错误代码：%d\n', flag);
end

% 绘制误差收敛曲线
semilogy(1:length(resvec), resvec, '-o'); xlabel('迭代次数'); ylabel('误差'); grid on;

注意，这里使用了 MATLAB 自带的 pcg 函数，它会自动选择一种预处理方法来加速共轭梯度法的收敛。如果需要手动设置预处理器，则可以使用 pcg 的扩展版函数 pcg_solve，例如：

% 设置对称正定矩阵的预处理器为不带权重的不完全 Cholesky 分解
L = ichol(A); % L 是下三角矩阵
LM = L';

% 设置共轭梯度法的参数和迭代次数
max_iter = 10000;
tol = 1e-10;

% 调用 pcg_solve 函数进行求解
[x, flag, relres, iter, resvec] = pcg_solve(@(x)A*x, b, x0, LM, LM', max_iter, tol, [], []);

% 绘制误差收敛曲线
semilogy(1:length(resvec), resvec, '-o'); xlabel('迭代次数'); ylabel('误差'); grid on;

注意，预处理器通常需要根据具体问题的特点来选择，可以尝试不同的预处理器或自己实现一个预处理器来获得更好的收敛效果。