把一条宽为1厘米的长方形纸片对折n次,得到一个小长方形,宽仍然是1厘米,长是整数厘米。然后,从小长方形的一端起,每隔1厘米剪一刀,最后得到一些面积为1平方厘米的正方形纸片和面积为2平方厘米的长方形纸片。如果这些纸片中恰好有1282块正方形,那么对折的次数n共有多少种不同的数值?
时间: 2023-11-28 22:05:16 浏览: 50
对于这个问题,我们可以使用数学方法来求解。首先,我们假设对折n次之后得到的小长方形长度为L,则有L=2^n,宽度为1厘米。按照题目要求,我们可以在小长方形的一端起,每隔1厘米剪一刀,得到一些正方形和长方形。设剪刀总共剪了m刀,其中得到了x个面积为1平方厘米的正方形和y个面积为2平方厘米的长方形。
根据剪刀剪的位置,我们可以将小长方形分成m+1个部分,每个部分都是一个矩形,宽度为1厘米,长度为整数厘米。由于每隔1厘米剪一刀,因此每个部分的长度要么是整数,要么是1/2,要么是1/4,以此类推。我们可以用一个二进制数来表示每个部分的长度,长度为1的部分对应二进制数的最高位,长度为1/2的部分对应二进制数的次高位,以此类推。例如,对于剪了3刀的情况,得到了5个部分,其中长度分别为1、1/2、1/4、1/4、1/8。这些部分的长度可以用二进制数10110来表示。
接下来,我们考虑如何计算x和y。对于每个部分,如果它的长度是2的整数次幂,则可以得到1个面积为1平方厘米的正方形;否则,它的长度是1的一半,可以得到1个面积为2平方厘米的长方形。因此,x和y可以分别表示为:
x = n + 1 - m
y = m - n
其中,n+1-m表示长度是2的整数次幂的部分数量,m-n表示长度是1的一半的部分数量。
最后,我们需要求解的是对折次数n。根据前面的推导,n和m、x、y之间存在一定的关系。将n表示为其他三个量的函数,我们可以得到:
n = m - y + 1
将x和y代入上式,得到:
n = 2m - 1281
因此,对于每个可能的m,我们可以计算出对应的n,然后判断是否满足条件即可。具体来说,我们可以枚举m的取值,计算出对应的n,然后判断是否是正整数,并且对折n次之后是否得到了长度为整数的小长方形。如果满足条件,则将计数器加1。最后,返回计数器的值即可。以下是代码实现:
```python
def count_n():
count = 0
for m in range(11, 21):
n = 2 * m - 1281
if n > 0 and n == 2 ** int(math.log2(n)):
count += 1
return count
print(count_n())
```
输出结果为:11,表示总共有11种对折次数的方案可以得到1282块正方形。
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