在 xoy 平面上给你 a、b、c 三个点的坐标。已知 l 是过点 a、b 的直线，d 是点 c 关于直线 l 的对称点，求三角形 acd 的面积。

### 回答1：
首先，我们需要确定直线 l 的方程。由于 l 过点 a、b，我们可以通过这两点求出直线的斜率 k，然后再利用其中一个点的坐标和斜率 k 求出直线的截距 b，从而得到直线的方程 y=kx+b。具体地，我们有：

k = (yb-ya)/(xb-xa) # 斜率公式
b = ya - k*xa # 截距公式

然后，我们需要求出点 c 关于直线 l 的对称点 d 的坐标。根据对称点的定义，我们可以得到：

xd = 2*xl - xc
yd = 2*yl - yc

其中，xl 和 yl 分别是点 c 在直线 l 上的投影点的坐标。根据点到直线的距离公式，我们可以求出 xl 和 yl：

k = -1/k_l # 直线 l 的斜率的相反数
b_l = yc - k*xc # 直线 l 的截距
xl = (xc+k*yc-k*b_l)/(1+k**2)
yl = k*xl + b_l

最后，我们可以利用向量叉积的方法求出三角形 acd 的面积 S：

S = .5 * |(ad × ac)|

其中，ad 和 ac 分别是向量 d 和向量 c 的差。具体地，我们有：

ad = (xd-xa, yd-ya)
ac = (xc-xa, yc-ya)
S = .5 * abs(ad[]*ac[1] - ad[1]*ac[])

### 回答2：
首先，我们要求出过点 a、b 的直线 l 的方程。我们可以用两点式来求解。两点式的公式为：

$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$

其中 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ 是直线上的两个点。

根据题目，过点 a、b 的直线方程为：

$y-y_a=\frac{y_b-y_a}{x_b-x_a}(x-x_a)$

然后，我们需要求出点 c 关于直线 l 的对称点 d 的坐标。点 c 和直线 l 构成的垂线相交于直线 l 上的点为 e，那么点 d 就是点 e 的对称点。我们可以先求出点 e 的坐标，再用点对称式求解出点 d 的坐标。

由于点 e 在直线 l 上，所以它的纵坐标与直线 l 上任意一点的纵坐标相同，即 $y_e=y_a$。点 e 到点 c 的距离等于点 e 到直线 l 的距离，也就是点 c 到直线 l 的距离 $d_c$。点 c 到直线 l 的距离可以表示为：

$d_c=\frac{|y_b-y_a|x_c-x_a-|x_b-x_a|y_c-y_a|}{\sqrt{(y_b-y_a)^2+(x_b-x_a)^2}}$

这个公式是根据点到直线距离公式推导得出的。

因此，点 e 的坐标为 $(x_e,y_a)$，其中 $x_e=x_a+\frac{x_b-x_a}{y_b-y_a}(y_c-y_a+\frac{|y_b-y_a|x_c-x_a}{|x_b-x_a|})$。

那么根据点对称式，点 d 的坐标为 $(2x_e-x_c,2y_e-y_c)$。

最后，我们可以使用向量叉积求解三角形 acd 的面积。向量 $\vec{AC}$ 的坐标为 $(x_c-x_a,y_c-y_a)$，向量 $\vec{AD}$ 的坐标为 $(2x_e-x_c-x_a,2y_e-y_c-y_a)$。向量 $\vec{AC}$ 和 $\vec{AD}$ 的叉积的绝对值除以 $2$ 就是三角形 acd 的面积。

$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}|\vec{AC}\times\vec{AD}|=\frac{1}{2}|(x_c-x_a)(2y_e-y_c-y_a)-(y_c-y_a)(2x_e-x_c-x_a)|$

将上述式子代入变量，即可得到最终的面积公式。

### 回答3：
首先，我们需要求出直线 l 的解析式。假设点 a 的坐标为 (x1,y1)，点 b 的坐标为 (x2,y2)，则 l 的解析式可以表示为：

y-y1 = (y2-y1)/(x2-x1) * (x-x1)

将点 c 关于直线 l 的对称点 d 的坐标求出。因为点 c 在直线 l 上的垂足点为 e，且点 e 与点 d 在直线 l 上对称，因此点 d 的坐标可以表示为：

xd = xc - 2 * (y2-y1)/(x2-x1) * (yc-y1)
yd = yc - 2 * (x2-x1)/(y2-y1) * (xc-x1)

然后，我们可以根据三角形面积公式计算出三角形 acd 的面积。设点 a、c 的坐标分别为 (x1,y1)、(x3,y3)，则三角形 acd 的面积 S 可以表示为：

S = 1/2 * |(x1-x3) * (yc-y1) - (xc-x1) * (y1-y3)|

将点 d 的坐标带入上式，即可求出三角形 acd 的面积。