细说最小生成树并给出两种算法的实例

最小生成树(Minimum Spanning Tree, MST)是一种用于在加权无向连通图中找到最小生成树的算法。最小生成树是指在一个连通无向图中，选取一些边连接所有顶点，且这些边的边权之和最小。

下面给出两种最小生成树算法：Kruskal算法和Prim算法。

1. Kruskal算法

Kruskal算法是一种基于贪心策略的算法，其基本思想是先将图中所有边按照权值从小到大排序，然后依次选取每条边，并检查该边是否会形成环，如果不形成环，则将该边加入最小生成树中。

算法步骤：

1. 对图中所有边按照权值从小到大进行排序。
2. 依次选取每条边，如果该边不会形成环，则将该边加入最小生成树中。
3. 直到最小生成树中包含n-1条边为止。

下面给出一个使用Kruskal算法求解最小生成树的实例：


对于以上的图，我们按照边权从小到大进行排序，得到以下的边集合：

{(1,2),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(4,5),(5,6)}

依次选取每条边，并检查该边是否会形成环，最终得到的最小生成树为：


2. Prim算法

Prim算法也是一种基于贪心策略的算法，其基本思想是从任意一个顶点开始，依次选择与当前已选顶点集合相邻且权值最小的边，并将其加入最小生成树中。

算法步骤：

1. 从任意一个顶点开始，将该顶点加入已选顶点集合。
2. 依次选择与当前已选顶点集合相邻且权值最小的边，并将其加入最小生成树中。
3. 直到最小生成树中包含n-1条边为止。

下面给出一个使用Prim算法求解最小生成树的实例：


假设我们从顶点1开始，按照权值从小到大依次选择与当前已选顶点集合相邻且权值最小的边，并将其加入最小生成树中。得到的最小生成树为：