求带权为2,2,3,5,6,7,9,10的最优二叉树

这道题是经典的最优二叉树问题，也被称为哈夫曼树问题。解决该问题的方法是使用哈夫曼算法，具体步骤如下：

1. 将节点按照权值从小到大排序。
2. 选取权值最小的两个节点作为左右子节点，生成一个新的父节点，权值为左右子节点的权值之和。
3. 将新生成的父节点加入到节点序列中，重新排序。
4. 重复步骤2和3，直到所有节点都被选取并合并为一个根节点。

根据哈夫曼算法，可以得到以下二叉树：

        45
       /  \
      /    \
     12    33
    /  \   / \
   /    \ /   \
  4     8 15  18
       / \
      /   \
     2     6

其中，节点的权值对应题目中给出的带权值。根据上述二叉树，可以计算出最小的平均查找比较次数为：

(2*0 + 2*1 + 3*2 + 5*2 + 6*2 + 7*3 + 9*3 + 10*3) / 45 = 2.88

因此，以上二叉树是该问题的最优解。

相关问题

求带权3，4，5，6，7，8，9的最优二叉树的权W(T)。

这是一个经典的最优二叉树问题，也称为哈夫曼树问题。根据哈夫曼树的构建规则，我们知道权值越大的节点应当离根节点越近，因此我们需要先将节点按照权值从小到大排序。

现在我们按照权值从小到大依次插入节点，构建哈夫曼树。每次将权值最小的两个节点合并成一个新节点，它的权值为这两个节点的权值之和。重复这个过程，直到所有节点都被合并成了一个根节点。

具体地，我们可以使用一个数组 $w$ 存储节点的权值，一个二维数组 $dp$ 存储子树的权值和。$dp[i][j]$ 表示从第 $i$ 个节点到第 $j$ 个节点构成的子树的最小权值和。我们需要计算的就是 $dp[1][7]$。

首先，单个节点的子树权值就是它本身的权值，即 $dp[i][i]=w[i]$。接下来，我们考虑如何计算包含两个节点的子树的权值。对于两个相邻节点 $i$ 和 $i+1$，它们可以构成一棵二叉树，根节点的权值为 $w[i]+w[i+1]$。因此，$dp[i][i+1]=w[i]+w[i+1]$。

然后，我们考虑包含三个及以上节点的子树的权值。假设我们要计算 $dp[i][j]$，其中 $j-i+1\geq 3$。我们将这个子树分成两部分，左子树包含 $k$ 个节点，右子树包含 $j-k$ 个节点。我们枚举 $k$，计算左右子树的权值和，再加上根节点的权值 $w[i]+w[i+1]+\cdots+w[j]$，就可以得到这个子树的权值和。具体地，我们可以使用以下公式计算：

$$
dp[i][j]=\min_{i\leq k<j}\{dp[i][k]+dp[k+1][j]+w[i]+w[i+1]+\cdots+w[j]\}
$$

最终，$dp[1][7]$ 就是整棵树的最小权值和。在本例中，$dp$ 数组的值如下：

$$
\begin{array}{c|ccccccc}
&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
1&3&7&12&19&26&35&44\\
2&&4&9&16&23&32&41\\
3&&&5&10&17&26&35\\
4&&&&6&11&20&29\\
5&&&&&7&16&25\\
6&&&&&&9&18\\
7&&&&&&&11\\
\end{array}
$$

因此，$W(T)=dp[1][7]=44$。

画出带权为2,2,3,4,5的最优二叉树，画一个图满足：欧拉图又是哈密顿图

首先根据最优二叉树的定义，我们需要将权值从小到大排序，得到序列 2, 2, 3, 4, 5。

接下来，我们可以使用动态规划的思想，在序列中选取一个根节点，将序列分成左右两个子序列，使得左子树和右子树的加权路径长度之和最小。不断重复这个过程，直到所有节点都被选为根节点，就可以得到一棵最优二叉树。

根据上述过程，我们可以得到以下最优二叉树：

                4
              /   \
             2     5
            / \
           2   3

接下来，我们需要判断这棵树是否是欧拉图并且是哈密顿图。

首先，我们可以判断这棵树是否是欧拉图。因为欧拉图要求所有节点的度数都为偶数，而这棵树中只有根节点的度数为 2，其他节点的度数都为 1，因此这棵树不是欧拉图。

然后，我们需要判断这棵树是否是哈密顿图。哈密顿图要求存在一条经过所有节点的路径，即存在一条哈密顿路径。由于这棵树只有 5 个节点，我们可以手动列举出所有可能的哈密顿路径，如下所示：

2-2-3-4-5
2-2-4-3-5
2-4-2-3-5
2-4-3-2-5
2-4-3-5-2
4-2-3-5-2
4-2-3-2-5
4-3-2-5-2
4-3-2-2-5
4-3-5-2-2

可以发现，这棵树存在一条哈密顿路径 2-2-3-4-5，因此它是哈密顿图。

综上所述，我们得到了一棵权值为 2, 2, 3, 4, 5 的最优二叉树，且这棵树不是欧拉图但是是哈密顿图。