PTA回溯法求解流水作业调度问题

### 使用回溯法求解流水作业调度问题

#### 流水作业调度问题描述
给定 n 个作业要在两台机器上加工处理，每个作业都必须先由机器 M1 加工，然后再由机器 M2 加工。设第 i 个作业需占用机器 M1 的时间为 ai ， 占用机器 M2 的时间为 bi 。现在要找出这 n 个作业的一个最优排列方案使得总完成时间最短。

#### 回溯法原理
回溯法是一种通过构建解空间树来尝试所有可能解决方案的方法，在每一步选择中做出尽可能好的决策并继续前进；如果发现当前路径无法得到更优的结果，则返回到前一状态重新选择其他可能性直到找到全局最优解[^1]。

#### 算法实现思路
为了应用回溯法于上述问题之中：

- 定义一个函数 `backtrack` 接受参数为当前正在考虑安排哪个工作以及已经计算出来的部分成本。
- 对每一个未被分配的工作位置 k (k=0, ..., n)，假设将其放在当前位置 j 上面，并更新相应的最早可用时间和累积花费。
- 如果所有的任务都被成功放置完毕，则记录下此时的成本作为候选答案之一。
- 当遍历结束之后比较各个保存下来的可行解取其中最小者即为我们所寻求的最佳排序方式。

下面是具体的 Python 实现代码：

import sys

def flow_shop_scheduling(n, a, b):
    best_order = []
    min_cost = float('inf')
    
    def backtrack(j, current_a_time, current_b_time, order, visited):
        nonlocal best_order, min_cost
        
        if j == n:
            cost = max(current_a_time + sum([a[i] for i in range(n)]), 
                       current_b_time + sum([b[i] for i in range(n)]))
            
            if cost < min_cost:
                min_cost = cost
                best_order[:] = order[:]
                
            return
            
        for i in range(n):
            if not visited[i]:
                next_a_time = current_a_time + a[i]
                next_b_time = max(current_b_time, next_a_time) + b[i]

                new_visited = list(visited)
                new_visited[i] = True
                
                backtrack(
                    j + 1,
                    next_a_time,
                    next_b_time,
                    order + [i],
                    new_visited)

    initial_visited = [False]*n
    backtrack(0, 0, 0, [], initial_visited)
    
    return best_order, min_cost


if __name__ == "__main__":
    # Example input data from the problem statement.
    num_jobs = int(input().strip())
    processing_times_m1 = list(map(int, input().split()))
    processing_times_m2 = list(map(int, input().split()))

    optimal_sequence, minimum_completion_time = flow_shop_scheduling(num_jobs, processing_times_m1, processing_times_m2)

    print(f"Optimal sequence of jobs is {optimal_sequence}")
    print(f"The minimal completion time required to process all tasks on both machines sequentially is {minimum_completion_time}.")

此程序读入一组测试数据后会输出最佳的任务序列及其对应的最少完工时刻。注意这里采用的是递归形式的回溯方法来进行搜索过程模拟。