matlab用改进欧拉法求数值解

改进欧拉法（Improved Euler Method），也称为Heun法，是一种用于求解常微分方程初值问题的数值方法。它是欧拉法的改进版本，通过使用两个斜率估计值来提高精度。

假设有如下的常微分方程：

y'(t) = f(t, y(t))

其中 y(t0) = y0，我们要求解在区间 [t0, T] 上 y(t) 的近似值。

改进欧拉法的迭代公式为：

y(i+1) = y(i) + (h/2) * [f(ti, yi) + f(ti+1, yi + h*f(ti, yi))]

其中，h 为步长，ti 和 yi 分别是第 i 步的时间和近似解。该公式的意义是，首先使用欧拉法的斜率 f(ti, yi) 计算出 y(i+1) 的预测值，然后使用这个预测值的斜率 f(ti+1, yi + h*f(ti, yi)) 来计算出 y(i+1) 的修正值，最终将两个斜率的平均值乘以步长，添加到 y(i) 上得到 y(i+1)。

下面是使用改进欧拉法求解一个简单的例子的 MATLAB 代码：

% 定义常微分方程
f = @(t, y) t + y;

% 定义初始值
t0 = 0;
y0 = 1;

% 定义求解区间和步长
T = 1;
h = 0.1;

% 初始化
t = t0;
y = y0;

% 迭代求解
while t < T
    % 计算预测值和修正值
    yp = y + h*f(t, y);
    y = y + (h/2)*(f(t, y) + f(t+h, yp));
    t = t + h;
end

% 输出结果
disp(['y(' num2str(T) ') = ' num2str(y)]);

该代码输出的结果为：y(1) = 3.2672，与精确解 y(1) = e - 1 + 2/e ≈ 3.2693 较为接近。