$$ \hat{H} = -\frac{1}{2} \nabla^2 + V(x) $$ $$ V(x) = 0 \; (|x|<10) \;\;\; {\rm or} \;\;\; +\infty \; (|x|>10) $$ 的本征值

这是一个一维无限深势阱问题，势能在|x|<10的区域内为0，在|x|>10的区域内为无限大。我们可以将波函数分为三个区域：左边的无限深势阱、中间的自由空间、右边的无限深势阱。

在左右两个无限深势阱内，波函数必须为零，因此只需要考虑自由空间中的波函数。在自由空间中，波函数满足薛定谔方程：

$$ -\frac{1}{2} \frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2} + E\psi(x) = 0 $$

其中E是能量。我们假设波函数形式为：

$$ \psi(x) = A e^{ikx} + Be^{-ikx} $$

其中，k是波矢，A和B是待定系数。

将波函数代入薛定谔方程，得到：

$$ k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2} $$

在|x|<10的区域中，由于势能为零，波函数为：

$$ \psi(x) = C_1 \sin(k_1 x) + C_2 \cos(k_2 x) $$

其中，k1和k2为：

$$ k_1 = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} $$

$$ k_2 = 0 $$

在|x|>10的区域中，势能为无限大，波函数必须为零。

由于波函数必须满足连续性和可导性，我们可以利用波函数在两个无限深势阱边界处的连续性和导数不连续性来求解待定系数。具体地，我们可以先确定两个无限深势阱边界处波函数值相等，即：

$$ C_1 \sin(k_1 10) + C_2 \cos(k_2 10) = A e^{10ik} + B e^{-10ik} $$

然后，我们再利用波函数在边界处的导数不连续性来求解A和B。具体地，我们可以将薛定谔方程左右两边分别对x求导，得到：

$$ -\frac{1}{2} \frac{\partial^3 \psi(x)}{\partial x^3} + E \frac{\partial \psi(x)}{\partial x} = 0 $$

将波函数代入上式，得到：

$$ ikC_1 \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} \cos(k_1 10) = ikA e^{10ik} - ikB e^{-10ik} $$

将前面求解得到的C1、C2代入上式，即可求解出A和B。

最后，我们可以利用能量守恒的条件，即波函数的模平方在整个空间内积分等于1，来求解能量E的本征值。