能否用傅里叶变换求解这个问题？$$ \hat{H} = -\frac{1}{2} \nabla^2 + V(x) $$ $$ V(x) = 0 ; (|x|<10) ;;; {\rm or} ;;; +\infty ; (|x|>10) $$ 的本征值

是的，可以使用傅里叶变换来求解这个问题。具体的方法是将波函数表示为傅里叶级数的形式，然后将其代入薛定谔方程中，通过计算系数来求解本征值。这个方法也被称为平面波方法。

对于这个问题，由于势能在 $|x|<10$ 的区域内为零，因此可以将波函数表示为平面波的形式：
$$ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ikx} $$
其中 $k$ 是波矢，满足 $k^2/2 = E$，$E$ 是能量。根据边界条件，可以将波矢限制在 $[-\pi/10,\pi/10]$ 的区间内。

将波函数代入薛定谔方程，得到：
$$ -\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi(x) + V(x) \psi(x) = E \psi(x) $$
代入平面波形式的波函数，得到：
$$ \frac{1}{2}k^2 \psi(x) + V(x) \psi(x) = E \psi(x) $$
由于势能在 $|x|>10$ 的区域内为无限大，因此波函数在这个区域内为零，即 $\psi(x) = 0$。因此，可以得到波矢的取值范围：
$$ \frac{1}{2}k^2 = E $$
$$ -\frac{\pi}{10} \leq k \leq \frac{\pi}{10} $$

通过计算傅里叶系数，可以得到本征值和本征函数。具体的计算过程较为繁琐，这里不再赘述。