x[n]=(-1)^n,求x[n]的傅里叶变换

首先，我们可以将$x[n]$表示为另一个信号$y[n]$的实部，其中$y[n]=(-1)^n+j\cdot0$，即：

$$
y[n]=(-1)^n+0\cdot j
$$

然后，根据傅里叶变换的定义，$y[n]$的傅里叶变换$Y(\omega)$为：

$$
\begin{aligned}
Y(\omega)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty} y[n]\cdot e^{-j\omega n}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n\cdot e^{-j\omega n}+j\cdot0\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \cos(\omega n)\cdot e^{-j\omega n}+j\cdot\sum_{n=-\infty}^{\infty} \sin(\omega n)\cdot e^{-j\omega n}\\
&=\frac{1}{2}\cdot\sum_{n=-\infty}^{\infty} \left(e^{j\omega} \right)^n+\frac{1}{2}\cdot\sum_{n=-\infty}^{\infty} \left(e^{-j\omega} \right)^n\\
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-e^{j\omega}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\\
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-e^{-j\omega}}{1-e^{j\omega}e^{-j\omega}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1-e^{j\omega}}{1-e^{-j\omega}e^{j\omega}}\\
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-e^{-j\omega}}{1-e^{-2j\omega}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1-e^{j\omega}}{1-e^{2j\omega}}\\
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{e^{-j\omega/2}-e^{j\omega/2}}{e^{-j\omega}-1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{e^{j\omega/2}-e^{-j\omega/2}}{e^{j\omega}-1}\\
\end{aligned}
$$

化简可得：

$$
\begin{aligned}
Y(\omega)&=\frac{1}{2}\cdot\frac{e^{-j\omega/2}-e^{j\omega/2}}{e^{-j\omega}-1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{e^{j\omega/2}-e^{-j\omega/2}}{e^{j\omega}-1}\\
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{-j\cdot2\sin(\omega/2)}{-2j\sin(\omega/2)}\\
&=-j\cdot\frac{\sin(\omega/2)}{\sin(\omega)}\\
\end{aligned}
$$

因此，$x[n]=(-1)^n$的傅里叶变换为：

$$
X(\omega)=\mathcal{F}\{x[n]\}=-j\cdot\frac{\sin(\omega/2)}{\sin(\omega)}
$$