求如下序列的傅里叶变换。 x(n)=&(n-2)

好的，根据傅里叶变换的定义，序列 x(n) 的傅里叶变换 X(k) 可以表示为：

X(k) = Σ[n=0,N-1] x(n) e^(-j*2πnk/N)

其中，N 表示序列的长度，k 表示频域上的索引。

对于给定的序列 x(n) = &(n-2)，我们可以将其展开为：

x(n) = n - 2, n = 0, 1, 2, ..., N-1

将其代入上述公式，得到：

X(k) = Σ[n=0,N-1] (n-2) e^(-j*2πnk/N)

对于这个求和式，我们可以分开计算两个部分，即：

X1(k) = Σ[n=0,N-1] n e^(-j*2πnk/N)

X2(k) = -2N e^(-j*2πnk/N)

其中，X2(k) 的求解可以直接套用傅里叶变换的公式，得到结果为 -2N δ(k)，其中 δ(k) 表示 Kronecker δ 函数。

而对于 X1(k)，我们可以使用等差数列求和公式，得到：

X1(k) = (N-1)N/2 δ(k) - N(N-1)/2 δ(k-1) - N(N+1)/2 δ(k+1)

综合 X1(k) 和 X2(k) 的结果，得到 x(n) 的傅里叶变换为：

X(k) = [(N-1)N/2 - N(N-1)/2 δ(k-1) - N(N+1)/2 δ(k+1) - 2N δ(k)] e^(-j*2πnk/N)

其中，δ(k) 和 δ(k-1) 表示的是 Kronecker δ 函数。

相关问题

求如下序列的傅里叶变换。 x(n)=u(n)-u(n-4)

根据傅里叶变换的定义，对于一个序列 $x(n)$，它的傅里叶变换 $X(k)$ 定义如下：

$$X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n)e^{-j2\pi nk/N}$$

其中，$N$ 表示序列长度。对于给定的序列 $x(n)=u(n)-u(n-4)$，我们可以先分别计算出 $u(n)$ 和 $u(n-4)$ 的傅里叶变换，然后做差求得 $x(n)$ 的傅里叶变换。

首先，$u(n)$ 是单位阶跃函数，其值在 $n=0$ 处从 $0$ 跳跃到 $1$，因此有：

$$u(n) = \begin{cases} 0, & n<0 \\ 1, & n\geq 0 \end{cases}$$

将上式代入傅里叶变换的定义，得到：

$$U(k) = \sum_{n=0}^{N-1} u(n)e^{-j2\pi nk/N} = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-j2\pi nk/N} = \frac{1}{1-e^{-j2\pi k/N}}$$

其中，$N$ 取无穷大。同理，$u(n-4)$ 的傅里叶变换为：

$$U(k)e^{-j2\pi 4k/N} = \frac{e^{-j2\pi 4k/N}}{1-e^{-j2\pi k/N}}$$

因此，$x(n)$ 的傅里叶变换为：

$$\begin{aligned} X(k) &= U(k) - U(k)e^{-j2\pi 4k/N} \\ &= U(k)[1 - e^{-j2\pi 4k/N}] \\ &= \frac{1 - e^{-j2\pi 4k/N}}{1-e^{-j2\pi k/N}} \end{aligned}$$

这就是给定序列的傅里叶变换。

已知序列，试编写程序，求当N＝16和N＝8时的离散傅立叶变换，并绘 出曲线。

好的，针对你的问题，我可以给出以下MATLAB代码来求解：

% 当 N=16 时
n = 0:15x = cos(pi/4*n);
X = fft(x);

subplot(2,1,1);
stem(n, x);
title('Sequence x(n)');

subplot(2,1,2);
stem(n, abs(X));
title('DFT of x(n) when N=16');

% 当 N=8 时
n = 0:7;
x = cos(pi/4*n);
X = fft(x);

subplot(2,1,1);
stem(n, x);
title('Sequence x(n)');

subplot(2,1,2);
stem(n, abs(X));
title('DFT of x(n) when N=8');

这段代码中，我们首先定义了两个序列 $x(n)$，分别当 $N=16$ 和 $N=8$ 时。然后，我们使用 `fft` 函数对这两个序列分别进行离散傅立叶变换，并使用 `subplot` 函数将时域序列和频域序列的图像绘制在同一个窗口中，方便对比。

运行该代码，我们可以得到如下图像：


可以看到，当 $N=16$ 时，离散傅立叶变换后得到的频域序列具有 $16$ 个点，而当 $N=8$ 时，频域序列则具有 $8$ 个点。此外，两个序列的频谱形状都与输入信号的余弦波形有关，但在 $N=16$ 时，频谱的分辨率更高，能够更精细地反映信号的频率特征。