matlab求有限长离散时间信号x(n)=2^n的离散时间傅立叶变换（DFS）的代码

对于有限长离散时间信号 $x[n]=2^n$，其离散时间傅立叶变换（DFS）为：

$$ X[k]=\frac{1-(1/2)^N e^{-j2\pi kN/N}}{1-(1/2) e^{-j2\pi k/N}},\quad k=0,1,\dots,N-1 $$

其中，$N$ 为信号的长度。

在 MATLAB 中，可以使用以下代码实现 DFS 的计算：

% 假设有限长离散时间信号为 x，长度为 N
N = length(x);
k = 0:N-1;
W = exp(-1j*2*pi/N);
nk = k.'*k;
Wnk = W.^nk;
X = (1-(1/2)^N*Wnk(:,N))/((1/2)-W^(-1)*Wnk(:,1));

其中，$k$ 为频域索引，$W=e^{-j2\pi/N}$ 为旋转因子，$nk$ 为矩阵，其第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $nk_{ij}=nk(i,j)=ikj$，$Wnk$ 为矩阵，其第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $Wnk_{ij}=W^{ikj}$，$X$ 为 DFS 的计算结果。

需要注意的是，DFS 的结果是一个长度为 $N$ 的复数向量，其中第 $k$ 个元素对应着频率为 $2\pi k/N$ 的正弦波分量的振幅和相位。如果需要将 DFS 结果转换为幅度谱，则可以使用 abs 函数：

% 将 DFS 结果转换为幅度谱
X_abs = abs(X);

如果需要将幅度谱转换为分贝单位，则可以使用 mag2db 函数：

% 将幅度谱转换为分贝单位
X_db = mag2db(X_abs);