以DTFT定义式 X(e^jω )=∑_(n=-∞)^∞▒〖x(n)e^(-jωn) 〗 为例,定义式中求和符号以及求和项中复指数项e^(-jωn)具有什么意义?为什么傅里叶变换能够求得信号x(n)的频谱?
时间: 2024-02-29 10:53:51 浏览: 38
在DTFT定义式中,求和符号表示对信号x(n)在时间域中的所有样本进行加权求和。而指数项e^(-jωn)则表示对每个样本进行一个复数权重,这个权重随着样本的时间索引n而不同。通过这个加权求和,我们可以将信号从时间域转换到频域,得到信号的频谱X(e^jω)。
傅里叶变换能够求得信号x(n)的频谱,是因为傅里叶变换与DTFT是等效的。也就是说,对于一个离散信号x(n),其DTFT X(e^jω)与其傅里叶变换X(jω)是相等的。因此,我们可以通过傅里叶变换来计算信号的频谱。具体来说,傅里叶变换将信号从时间域转换到频域,将信号分解成一系列正弦和余弦波的叠加,从而展示信号在不同频率上的成分。
相关问题
如果h(n)是实数序列,证明H*(e^jω)=H(e^-jω)
这是一个关于离散时间傅里叶变换(DTFT)的性质。我们有如下的定义:
$$ H(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n) e^{-j\omega n} $$
其中,$h(n)$ 是一个实数序列。我们要证明的是:
$$ H^*(e^{j\omega}) = H(e^{-j\omega}) $$
首先,让我们展开 $H^*(e^{j\omega})$,得到:
$$
\begin{aligned}
H^*(e^{j\omega}) &= \left(\sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n) e^{-j\omega n}\right)^* \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} (h(n) e^{-j\omega n})^* \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n) e^{j\omega n} \\
\end{aligned}
$$
其中,我们用到了 $(ab)^* = a^* b^*$ 的性质。
接下来,我们要证明的是 $H^*(e^{j\omega}) = H(e^{-j\omega})$,即:
$$
\sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n) e^{j\omega n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n) e^{-j\omega n}
$$
我们可以将 $n$ 替换为 $-n$,从而得到:
$$
\begin{aligned}
\sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n) e^{-j\omega n} &= \sum_{-n=-\infty}^{\infty} h(-n) e^{j\omega (-n)} \\
&= \sum_{n=\infty}^{-\infty} h(n) e^{j\omega n} \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n) e^{j\omega n} \\
\end{aligned}
$$
其中,我们用到了 $h(-n) = h(n)$ 的性质。
将上面两个公式代入原式,我们可以得到:
$$ H^*(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n) e^{j\omega n} = H(e^{-j\omega}) $$
因此,我们证明了 $H^*(e^{j\omega}) = H(e^{-j\omega})$。
答案结束,感谢使用 ChitGPT 进行交互!
已知一个信号的DTFT为X(e^jw)=1-0.2e^-jw+0.35e^-j2w,求该信号的8点DFT的幅度和相位
好的,根据上面的公式,我们可以先把DTFT表达式代入,得到:
X[k] = 1/8 * sum(X(e^(jw)) * e^(-j2*pi*k*n/8), n=0~7)
= 1/8 * sum((1 - 0.2e^-jw + 0.35e^-j2w) * e^(-j2*pi*k*n/8), n=0~7)
接下来,我们可以按照以下步骤来计算:
1. 把e^-jw和e^-j2w表示为复数形式:
e^-jw = cos(w) - j*sin(w)
e^-j2w = cos(2w) - j*sin(2w)
2. 把上面的公式代入,得到:
X[k] = 1/8 * sum((1 - 0.2(cos(w) - j*sin(w)) + 0.35(cos(2w) - j*sin(2w))) * e^(-j2*pi*k*n/8), n=0~7)
3. 展开求和式,并把实部和虚部分开:
X[k] = 1/8 * [ (1 - 0.2cos(w) + 0.35cos(2w)) * sum(cos(2*pi*k*n/8))
+ (0.2sin(w) - 0.35sin(2w)) * sum(sin(2*pi*k*n/8)) ]
- j/8 * [ (1 - 0.2cos(w) + 0.35cos(2w)) * sum(sin(2*pi*k*n/8))
+ (0.2sin(w) - 0.35sin(2w)) * sum(cos(2*pi*k*n/8)) ]
4. 计算求和式:
对于cos函数的求和式,有:
sum(cos(2*pi*k*n/8)) = 1 + cos(pi*k/4) + cos(pi*k/2) + cos(3*pi*k/4)
对于sin函数的求和式,有:
sum(sin(2*pi*k*n/8)) = sin(pi*k/4) + sin(pi*k/2) - sin(3*pi*k/4)
5. 代入求和式,得到:
X[k] = 1/8 * [ (1 - 0.2cos(w) + 0.35cos(2w)) * (4 + 2*cos(pi*k/4))
+ (0.2sin(w) - 0.35sin(2w)) * (2*sin(pi*k/4) + 2*sin(pi*k/2) - 2*sin(3*pi*k/4)) ]
- j/8 * [ (1 - 0.2cos(w) + 0.35cos(2w)) * (2*sin(pi*k/4) + 2*sin(pi*k/2) - 2*sin(3*pi*k/4))
+ (0.2sin(w) - 0.35sin(2w)) * (4 + 2*cos(pi*k/4)) ]
6. 计算幅度和相位:
幅度:|X[k]| = sqrt(Re(X[k])^2 + Im(X[k])^2)
相位:arg(X[k]) = atan2(Im(X[k]), Re(X[k]))
其中,Re(X[k])和Im(X[k])分别表示X[k]的实部和虚部。
将上面的式子代入计算,可以得到信号的8点DFT的幅度和相位。
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