用解析方法计算矩形脉冲x[n]＝u[n]-u[n-10]的DTFT

矩形脉冲 $x[n]=u[n]-u[n-10]$ 的 DTFT 定义如下：

$$X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}$$

其中 $u[n]$ 是单位阶跃函数，定义为：

$$u[n]=\begin{cases} 0, & n<0 \\ 1, & n\geq 0 \end{cases}$$

代入 $x[n]$ 得到：

$$\begin{aligned} X(e^{j\omega}) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} (u[n]-u[n-10]) e^{-j\omega n} \\ &= \sum_{n=0}^{9} e^{-j\omega n} - \sum_{n=10}^{\infty} e^{-j\omega n} \end{aligned}$$

对第一个求和式使用等比数列求和公式：

$$\sum_{n=0}^{9} e^{-j\omega n}=\frac{1-e^{-j\omega 10}}{1-e^{-j\omega}}$$

对第二个求和式使用等比数列求和公式：

$$\sum_{n=10}^{\infty} e^{-j\omega n}=\frac{e^{-j\omega 10}}{1-e^{-j\omega}}$$

代入上面两个式子得到：

$$\begin{aligned} X(e^{j\omega}) &= \frac{1-e^{-j\omega 10}}{1-e^{-j\omega}}-\frac{e^{-j\omega 10}}{1-e^{-j\omega}} \\ &= \frac{1-e^{-j\omega 10}-e^{-j\omega}+e^{-j\omega 11}}{1-e^{-j\omega}} \\ &= \frac{1-e^{-j\omega}(1+e^{j\omega})+e^{-j\omega 11}}{1-e^{-j\omega}} \end{aligned}$$

因此，矩形脉冲 $x[n]$ 的 DTFT 为：

$$X(e^{j\omega})=\frac{1-e^{-j\omega}(1+e^{j\omega})+e^{-j\omega 11}}{1-e^{-j\omega}}$$