已知x(n)= {2,4,6,1,5}。(1）计算 X(ejw）=DTFTE[(n)]以及X(k)=DFT[x(n)]，比较二者的关系； （2）将x(n)补零为x0(n)={2,4,6,1,5,0,0}，计算X(ejw)=DTFT[x0(n)]以及X0(k)=DFT[x0(n)]

(1) 计算 X(ejw）=DTFTE[(n)] 和 X(k)=DFT[x(n)]：

首先，将 x(n) 展开为：

x(n) = 2δ(n) + 4δ(n-1) + 6δ(n-2) + 1δ(n-3) + 5δ(n-4)

其中，δ(n) 表示单位脉冲序列。然后，计算 DFT[x(n)]：

X(k) = ∑_{n=0}^{N-1} x(n)e^{-j2πnk/N}

代入 x(n) 的表达式，得到：

X(k) = 2 + 4e^{-j2πk/N} + 6e^{-j4πk/N} + e^{-j6πk/N} + 5e^{-j8πk/N}

接下来，计算 DTFT[x(n)]：

X(ejw) = ∑_{n=-∞}^{∞} x(n)e^{-jwn}

代入 x(n) 的表达式，得到：

X(ejw) = 2 + 4e^{-jw} + 6e^{-j2w} + e^{-j3w} + 5e^{-j4w}

可以发现，X(ejw) 和 X(k) 的表达式非常相似，只是 e 的指数变成了 j2πnk/N。这是因为 DFT 是 DTFT 在离散时间和频率上的特殊情况。具体来说，DFT 是将 DTFT 在频率上均匀采样得到的一种离散化表示。

(2) 将 x(n) 补零为 x0(n)={2,4,6,1,5,0,0}，计算 X(ejw)=DTFT[x0(n)] 和 X0(k)=DFT[x0(n)]：

首先，计算 DFT[x0(n)]：

X0(k) = ∑_{n=0}^{N-1} x0(n)e^{-j2πnk/N}

代入 x0(n) 的表达式，得到：

X0(k) = 2 + 4e^{-j2πk/N} + 6e^{-j4πk/N} + e^{-j6πk/N} + 5e^{-j8πk/N}

可以发现，与 x(n) 相比，X0(k) 的长度变成了 7，因为 x0(n) 的长度为 7。此外，X0(k) 中的后两项是 0，因为补零后 x0(n) 中的最后两个元素都为 0。

接下来，计算 DTFT[x0(n)]：

X0(ejw) = ∑_{n=-∞}^{∞} x0(n)e^{-jwn}

代入 x0(n) 的表达式，得到：

X0(ejw) = 2 + 4e^{-jw} + 6e^{-j2w} + e^{-j3w} + 5e^{-j4w}

与 X(ejw) 的表达式相同，因为补零不会改变 DTFT 的表达式。但是，X0(ejw) 的取值范围是连续的，而 X(ejw) 的取值范围是离散的。