用解析方法计算矩形脉冲α[n]=u[n ]-u[n-10]的 DTFT,同时创建包含α[n ]非零向量x
时间: 2023-12-12 09:03:38 浏览: 43
首先,我们需要求出矩形脉冲α[n]的DTFT。矩形脉冲α[n]的定义是:
$$\alpha[n] = u[n] - u[n-10]$$
其中,$u[n]$是单位阶跃函数。我们可以将其表示成两个单位阶跃函数的差:
$$\alpha[n] = \begin{cases} 1, & 0 \leq n < 10 \\ 0, & \text{其他情况} \end{cases}$$
接下来,我们可以使用DTFT的解析方法来计算α[n]的DTFT。DTFT的定义是:
$$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}$$
将α[n]代入上式得到:
$$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{9}e^{-j\omega n}$$
这是一个等比数列求和,可以使用等比数列求和公式得到:
$$X(e^{j\omega}) = \frac{1 - e^{-j10\omega}}{1 - e^{-j\omega}}$$
这就是矩形脉冲α[n]的DTFT。
接下来,我们需要创建包含α[n]非零向量x。由于α[n]只在$n=0$到$n=9$之间取非零值,因此可以构造一个长度为10,前10个元素为1,后面的元素为0的向量:
$$x = [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,\dots]$$
这个向量的DTFT就是上面求得的$X(e^{j\omega})$。
相关问题
用解析方法计算矩形脉冲x[n]=u[n]-u[n-10]的DTFT
矩形脉冲 $x[n]=u[n]-u[n-10]$ 的 DTFT 定义如下:
$$X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}$$
其中 $u[n]$ 是单位阶跃函数,定义为:
$$u[n]=\begin{cases} 0, & n<0 \\ 1, & n\geq 0 \end{cases}$$
代入 $x[n]$ 得到:
$$\begin{aligned} X(e^{j\omega}) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} (u[n]-u[n-10]) e^{-j\omega n} \\ &= \sum_{n=0}^{9} e^{-j\omega n} - \sum_{n=10}^{\infty} e^{-j\omega n} \end{aligned}$$
对第一个求和式使用等比数列求和公式:
$$\sum_{n=0}^{9} e^{-j\omega n}=\frac{1-e^{-j\omega 10}}{1-e^{-j\omega}}$$
对第二个求和式使用等比数列求和公式:
$$\sum_{n=10}^{\infty} e^{-j\omega n}=\frac{e^{-j\omega 10}}{1-e^{-j\omega}}$$
代入上面两个式子得到:
$$\begin{aligned} X(e^{j\omega}) &= \frac{1-e^{-j\omega 10}}{1-e^{-j\omega}}-\frac{e^{-j\omega 10}}{1-e^{-j\omega}} \\ &= \frac{1-e^{-j\omega 10}-e^{-j\omega}+e^{-j\omega 11}}{1-e^{-j\omega}} \\ &= \frac{1-e^{-j\omega}(1+e^{j\omega})+e^{-j\omega 11}}{1-e^{-j\omega}} \end{aligned}$$
因此,矩形脉冲 $x[n]$ 的 DTFT 为:
$$X(e^{j\omega})=\frac{1-e^{-j\omega}(1+e^{j\omega})+e^{-j\omega 11}}{1-e^{-j\omega}}$$
用解析方法计算矩形脉冲x[n]=u[n]-u[n-10]的DTFT madlap
首先,对于这个矩形脉冲,我们可以把它看作是两个阶跃函数的差值。即:
$$x[n] = u[n] - u[n-10]$$
然后,我们可以利用 DTFT 的定义公式进行计算:
$$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n}$$
将 $x[n]$ 代入上式,得到:
$$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} (u[n] - u[n-10]) e^{-j\omega n}$$
接下来,我们可以将上式拆开成两个求和式:
$$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} u[n] e^{-j\omega n} - \sum_{n=-\infty}^{\infty} u[n-10] e^{-j\omega n}$$
对于第一个求和式,我们可以利用阶跃函数的性质进行化简:
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} u[n] e^{-j\omega n} = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-j\omega n}$$
这是一个等比数列求和,可以得到:
$$\sum_{n=0}^{\infty} e^{-j\omega n} = \frac{1}{1 - e^{-j\omega}}$$
对于第二个求和式,我们可以进行变量替换 $m = n - 10$,得到:
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} u[n-10] e^{-j\omega n} = \sum_{m=-\infty}^{\infty} u[m] e^{-j\omega (m+10)}$$
同样利用阶跃函数的性质进行化简:
$$\sum_{m=-\infty}^{\infty} u[m] e^{-j\omega (m+10)} = e^{-j\omega 10} \sum_{m=0}^{\infty} e^{-j\omega m}$$
将两个求和式代回原式:
$$X(e^{j\omega}) = \frac{1}{1 - e^{-j\omega}} - e^{-j\omega 10} \sum_{m=0}^{\infty} e^{-j\omega m}$$
再次利用等比数列求和公式,可得:
$$X(e^{j\omega}) = \frac{1}{1 - e^{-j\omega}} - e^{-j\omega 10} \frac{1}{1 - e^{-j\omega}}$$
将公共因子提取出来,得到:
$$X(e^{j\omega}) = \frac{1 - e^{-j\omega 10}}{1 - e^{-j\omega}}$$
这就是矩形脉冲的 DTFT 表示式。