用解析方法计算矩形脉冲x[n]=u[n]-u[n-10]的DTFT madlap
时间: 2024-05-31 22:14:59 浏览: 21
首先,对于这个矩形脉冲,我们可以把它看作是两个阶跃函数的差值。即:
$$x[n] = u[n] - u[n-10]$$
然后,我们可以利用 DTFT 的定义公式进行计算:
$$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n}$$
将 $x[n]$ 代入上式,得到:
$$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} (u[n] - u[n-10]) e^{-j\omega n}$$
接下来,我们可以将上式拆开成两个求和式:
$$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} u[n] e^{-j\omega n} - \sum_{n=-\infty}^{\infty} u[n-10] e^{-j\omega n}$$
对于第一个求和式,我们可以利用阶跃函数的性质进行化简:
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} u[n] e^{-j\omega n} = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-j\omega n}$$
这是一个等比数列求和,可以得到:
$$\sum_{n=0}^{\infty} e^{-j\omega n} = \frac{1}{1 - e^{-j\omega}}$$
对于第二个求和式,我们可以进行变量替换 $m = n - 10$,得到:
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} u[n-10] e^{-j\omega n} = \sum_{m=-\infty}^{\infty} u[m] e^{-j\omega (m+10)}$$
同样利用阶跃函数的性质进行化简:
$$\sum_{m=-\infty}^{\infty} u[m] e^{-j\omega (m+10)} = e^{-j\omega 10} \sum_{m=0}^{\infty} e^{-j\omega m}$$
将两个求和式代回原式:
$$X(e^{j\omega}) = \frac{1}{1 - e^{-j\omega}} - e^{-j\omega 10} \sum_{m=0}^{\infty} e^{-j\omega m}$$
再次利用等比数列求和公式,可得:
$$X(e^{j\omega}) = \frac{1}{1 - e^{-j\omega}} - e^{-j\omega 10} \frac{1}{1 - e^{-j\omega}}$$
将公共因子提取出来,得到:
$$X(e^{j\omega}) = \frac{1 - e^{-j\omega 10}}{1 - e^{-j\omega}}$$
这就是矩形脉冲的 DTFT 表示式。
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